Вывод основного уравнения мокулярно-кинетической теории

Найдем давление газа на стенки сосуда. Рассмотрим следующую модель: пусть в центре куба со стороной Dl находится молекула (рис.1.2). Условно можно считать, что молекула может двигаться в одном из 6 возможных направлений. Пусть ее средняя скорость равна V. Ударяясь в стенки, молекула оказывает на них давление. Найдём его.

Сила, действующая на стенку при ударе одной молекулы равна силе, действующей на молекулу. Она равна отношению изменения импульса молекулы ко времени этого изменения Dt:

Вектор:

 

 

(где m - масса 1 молекулы, u₁,u₂ - скорости движения молекулы к стенке и обратно (рис.1.2). Проекция давления: (u₂ = u₁ = u т.к. удар о стенку упругий). Молекула долетит до стенки и вернётся в центр куба через время dt=Dl/u. Отсюда получаем, что сила, действующая на стенку, равна F=dp/dt=2mu²/Dl.

Средняя сила, создаваемая ударом одной молекулы равна.Угловыми скобками < > мы обозначаем ускорение по всем молекулам. Если число молекул в кубе n, то к данной стенке движутся их 1/6 часть. В таком случае они создают силу: и давление: . Величина - является концентрацией молекул. А - средняя кинетическая энергия одной молекулы. Итак, для давления идеального газа на стенки сосуда получаем: или

(1.2)

Это основное уравнение кинетической теории газов.

Давление на стенку сосуда определяется произведением концентрации молекул n₀ на их среднюю кинетическую энергию .

1. 3. Молекулярно-кинетическое толкование температуры

 

Перепишем основное уравнение кинетической теории для произвольной массы газа m. Пусть в объеме V содержится идеальный газ, имеющий молярную массу m.

В одном моле газа (массой m) содержится число молекул, равное числу Авогадро N_A, если же масса газа равна m, то это составит n=m/m молей и общее число молекул будет равно N= N_A×m/m. С учетом объема V, занимаемого газом, не трудно получить концентрацию молекул n₀=N/V= (N_A×m/m)/V. Подставляя это значение в соотношение (1.2), получим выражение:

, которое целесообразно сравнить с уравнением состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона

Сравнение этих выражений позволяет получить величину средней кинетической энергии молекулы газа:

(1.3)

По определению, отношение газовой постоянной R к числу Авогадро N_A называют постоянной Больцмана и обозначают буквой k=R/N_A.; k=1,38^.10^-23 Дж/К.

Таким образом, получаем, что температура тела Т равна с точностью до постоянного множителя 3/2^.k равна средней кинетикой энергии поступательного движения молекул W_k:

W_k=3/2^.kT (1.3)

С учетом данного выражения основное уравнение кинетической теории можно переписать иначе:

(основное уравнение кинетической теории) (1.4.)

Найдём среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул V_ср.кв.:

откуда , (1.4)

где k – постоянная Больцмана, m – масса молекулы, R – универсальная газовая постоянная, m - молярная масса, Т – температура.

При абсолютном нуле (Т = 0) движение молекул прекращается т.е. .