Теорема про рух центру мас

 

Центром мас (або центром інерції) механічної системи (системи матеріальних точок) називають таку уявну точку, радіус-вектор якої визначається за наступною формулою:

 

. (1.3.1)

 

У разі неперервного розподілу маси (1.3.1) має вигляд: .

Перепишемо це визначення в наступний спосіб: та візьмемо похідну від нього за часом:

 

. (1.3.2)

 

Тоді природним виглядає назвати швидкістю центру мас таку величину:

 

. (1.3.3)

 

У разі неперервного розподілу маси: .

Імпульс центру мас визначається в такий спосіб:

, (1.3.4)

 

де M - це повна маса системи.

Продиференціюємо рівняння (1.3.3) за часом і визначимо прискорення, з яким рухається центр мас:

 

. (1.3.5)

 

Оскільки сума внутрішніх сил, що діють між компонентами механічної системи за третім законом Ньютона дорівнює нулю, то у чисельнику виразу (1.3.5) лишається лише сума зовнішніх сил. Тим самим ми довели наступну теорему про рух центру мас (закон руху центру інерції).

Теорема: Центр мас системи матеріальних точок рухається як одна матеріальна точка, маса якої дорівнює сумі мас усіх матеріальних точок, що є складовими частинами системи, під дією сили, яка є геометричною сумою усіх зовнішніх сил, що діють на систему, тобто:

 

(1.3.6)

 

Якщо система є замкненою, тобто , тоді Отже, за цих умов центр мас замкненої системи матеріальних точок рухається рівномірно та поступально. Повний імпульс замкненої системи матеріальних точок відносно системи відліку, що рухається зі швидкістю центру мас, дорівнює нулю.