Момент импульса.
Закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела за некоторый промежуток времени, равно импульсу момента силы за тот же промежуток времени.
r r
Mt = Iwn - Iw0
где t – промежуток времени, в течении которого угловая скорость менялась от w0 до wn ; I – момент инерции тела;
Mt – импульс момента силы (аналогичен Ft – импульсу силы); Iw - момент импульса тела (аналогичен p = mv – импульсу тела).
Закон сохранения момента импульса: в изолированной системе сумма моментов импульсов всех тел – величина постоянная.
I1w1 + ... + Iiwi + ... + Inw n = const Þ Iw = const
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:
W= 12 Iz w2
4.1.18. Колебательное движение
Колебательным движением называется процесс, при котором система многократно отклоняясь от положения равновесия, возвращается к нему.
Параметры механических колебаний:
Амплитуда – максимальное отклонение системы от положения равно-весия.
Период – время, за которое совершается одно полное колебание. Частота периодических колебаний n - число полных колебаний, совер-
| шаемых за единицу времени: | n = | 1 [Гц] | ||
| T | ||||
Гармоническими называются колебания, при котором изменение ко-леблющейся величины со временем происходит по закону синуса или коси-нуса.
Уравнение гармонических колебаний:
| æ 2p | ö | |||
| x = Asin f = A sin(wt) = A sinç | t ÷ | = A sin(2pnt) | ||
| T | ||||
| è | ø |
Фаза колебаний – аргумент тригонометрических функции в уравнении гармонических колебаний, показывающий положение колеблющейся точки в любой момент времени.
Скорость колебаний: v = dxdt = wA cos(wt) = wA sin(wt + p/2) = v0 cos(wt)
Ускорение колебаний: a = dvdt = -w 2 A sin(wt) = w 2 A sin(wt + p ) = -ao sin(wt)
| 4.1.19. Энергия колебательного движения | ||||||||||||||||||||||||||
| Кинетическая энергия: | mv 2 | m æ | p | ö | mw 2 A2 | |||||||||||||||||||||
| Wk | = | = | çwA sin(wt + | )÷ | = | cos | (wt) | |||||||||||||||||||
| 2 è | ø | |||||||||||||||||||||||||
| Потенциальная энергия: | Wп = | kx 2 | = | k | A2 sin 2 (wt) = | mw 2 A2 | sin 2 (wt) | |||||||||||||||||||
| Полная механическая энергия колеблющейся системы: | ||||||||||||||||||||||||||
| W = W | + W | = | mw 2 | A2 | (wt) + sin | (wt)) = | mw 2 A2 | |||||||||||||||||||
| k | п | (cos | ||||||||||||||||||||||||
| где m - масса тела, А – амплитуда колебаний, ω - угловая частота. |
4.1.20. Затухающие и вынужденные колебания
Затухающие колебания – колебания, которые прекращаются при пере-ходе всей энергии системы в теплоту из-за трения.
Уравнение затухающих колебаний:
x = Ae-bt cos(wt +a )
где w = 
w02 - b 2- частота, с которой колеблется система с учетом трения, b - коэффициент затухания.
Период затухающих колебаний:
T = 2p
w02 - b 2
Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы на-зывается вынуждающей силой, а колебания вынужденными.
Амплитуда вынужденных колебаний:
| А = | F0 | |
| (w02 -w 2 ) |
где F0 – вынуждающая сила, w - частота вынужденных колебаний, w0 – часто-та собственных колебаний.
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных ко-лебаний в результате близких значений частоты вынужденных колебаний и частоты собственных колебаний системы.
w02 - w 2 ® 0 Þ А → ∞
4.1.21. Маятники
Пружинный маятник - материальная точка, колеблющаяся на пружине: Период колебаний:
| T = | 2p | = 2p | m | |||
| w | k | |||||
где m – масса маятника, k – коэффициент жесткости пружины, ω – циклическая частота.
Математический маятник - материальная точка, подвешенная на беско-нечно длинной, невесомой и недеформированной нити, колеблющаяся под
| действием силы тяжести. | 2p | ||||||
| Период колебаний: | T = | = 2p | l | ||||
| w | g |
где l - длина нити; g - ускорение свободного падения.
Физический маятник - абсолютно твердое тело, совершающее колеба-ния под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси.
Период колебаний:
| T = | 2p | = 2p | I | |||
| w | mga | |||||
где I - момент инерции; a - расстояние от центра масс маятника до оси коле-баний.
4.1.22. Упругие волны
Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной.
Уравнение плоской волны:
| æ | 2pyT ö | æ | 2p | ö | r | ||
| x = A sin çwt - | ÷ | = A sin çwt - | y ÷ | = A sin (wt - ky) | |||
| Tl | l | ||||||
| è | ø | è | ø |
где ω - циклическая частота, Т – период, y - координата точки, l - длина волны, kr = 2lp - волновой вектор.
Длина волны – расстояние между ближайшими точками, колеблющи-мися в одной фазе.
4.1.23.Скорость и энергия волны
Скорость распространения волны :
| dx | æ | 2p | ö | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| v = | = A cosçwt - | y ÷ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dt | l | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Кинетическая энергия: | è | ø | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| mv 2 | é | æ | 2p | ö ù2 | 2 æ | 2p | ö | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Wk = | = | m | êwA cosçwt - | y ÷ú | = | rVw | A | cos | çwt - | y ÷ | |||||||||||||||||||||||||||||||
| l | l | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| где m = rV, r | ë | è | ø û | è | ø | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| - плотность среды, V – ее объем. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Потенциальная энергия: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| kx2 | æ | 2p | ö | æ | 2p | ö | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Wп = | = | kA | sin | çwt | - | y ÷ | = | w | A | rV sin | çwt - | y ÷ | |||||||||||||||||||||||||||||
| l | l | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| è | ø | è | ø |
где k = w2x – коэффициент упругости среды.
Полная энергия волны
W = Wk + Wп = 12 w 2 A2 rV
4.1.24. Интерференция волн
Интерференция – явление сложения когерентных волн (волн с одина-ковой частотой и постоянной во времени и пространстве разностью фаз ), в результате которого наблюдается перераспределение плотности потока энер-гии или интенсивности волны (наблюдение максимумов и минимумов интен-сивности).
Условие максимума:
| , | l | |||
| где n = 0,1,2,3… | Dy = 2n | |||
| Условие минимума: | 1) l | |||
| Dy = (2n + | ||||
где ∆у - разность хода интерферирующих волн, λ – длина волны.
4.1.25. Стоячие волны
Стоячая волна - результат наложения двух встречных волн с одинако-выми амплитудами и частотами (периодами).
В случае сложения двух когерентных волн, движущихся навстречу друг другу вдоль одной прямой, получим:
x1 =
x 2 =
| æ | y ö | |||||||||||
| A sinç | щt - 2р | ÷ | æ | y | р ö | |||||||
| è | л ø | |||||||||||
| Þ x = x1 + x 2 | = 2A cosç2р | + | ÷sin(щt + р) . | |||||||||
| æ | y | л | ||||||||||
| ö | è | ø | ||||||||||
| A sinç | щt + 2р | + р ÷ | ||||||||||
| л | ||||||||||||
| è | ø |
Узлы - точки, в которых амплитуда равна нулю. y = 2n л4 = n л2
Пучности – точки, которые колеблются с наибольшими амплитудами: y = (2n +1) l4
Длина стоячей волны lст - расстояние между двумя соседними узлами или пучностями.
Главное свойство стоячей волны – отсутствие переноса энергии.
4.1. 26. Уравнение неразрывности
Идеальная жидкость - воображаемая несжимаемая и не обладающая внутренним трением или вязкостью жидкость.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока, в каждой точке которых касательная совпадает с вектором скорости движения частиц жидкости, на-зывается трубкой тока.
Уравнение неразрывности: для данной трубки тока произведение пло-щади поперечного сечения трубки на скорость течения несжимаемой жидко-сти есть величина постоянная.
Sυ = const
4.1.27. Уравнение Бернулли
При стационарном движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления, кинетической и потенциальной энергий остается постоянной в любом поперечном сечении потока (теорема Бернулли):
| rv2 | + rgh + p = const | - уравнение Бернулли | |
где rv2 - удельная кинетическая энергия жидкости, rgh – удельная потен-
циальная энергия жидкости, р – удельная энергия жидкости, обусловленная силами давления.
С другой стороны, все члены уравнения можно рассматривать как дав-ления:
р – статическое; rv2/2 – динамическое; rgh – гидравлическое:
Þ в стационарном потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давле-ние, слагаемое из динамического, статического и гидравлического давления постоянно в любом поперечном сечении потока.