Коэффициент усиления слабого сигнала

Рис. 1.

Найдем выражение для коэффициента усиления через параметры состава среды. Рассмотрим элемент объема плоской электромагнитной волны, распространяющейся через активную среду COIL (рис. 1). В стационарном состоянии в каждой точке эйлеровой (лабораторной) системы координат все параметры не зависят от времени. В то же время в системе координат, перемещающейся вместе со световой волной, интенсивность и плотность фотонов меняются. Поэтому:

где N – количество фотонов в выделенном элементе объема волны. Используется также связь между интенсивностью, переносимой оптической волной (I), и плотностью фотонов в волне (r): . Преобразуем:

В то же время N=rN_AFdx, поэтому:

Объединяя, получаем выражение для пространственной производной от интенсивности волны:

С другой стороны, в системе координат, движущейся вместе со световой волной, плотность фотонов управляется кинетическими уравнениями:

Первая из этих реакций – это процесс вынужденного излучения, когда второй фотон появляется вследствие перехода атома йода из возбужденного в невозбужденное состояния под влиянием «вынуждающего» фотона. Формально – это реакция второго порядка, т.к. ее скорость пропорциональна не только концентрации возбужденных атомов йода, но и концентрации фотонов. Константа скорости этой «реакции» равна cs, где s - сечение вынужденного излучения:

Вторая реакция – это процесс поглощения кванта. Известно, что из-за вырожденности энергетических уровней атома йода ее скорость вдвое меньше скорости вынужденного излучения.

Необходимо обратить внимание, что размерность констант скорости, определенных таким образом (м³/с), соответствует измерению концентраций в частицах (атомах, молекулах или фотонах) на единицу объема. В нашем случае концентрации обычно измеряются в молях на единицу объема (конкретно – на м³), а константы скорости реакций второго порядка – в м³/(моль*с). Для перевода в «нашу» размерность необходимо умножить константу на число Авогадро:

Тогда, в соответствии с законом действующих масс,

Переходя от плотности фотонов к интенсивности волны: r=I/(N_Achn), а также используя выражения для концентраций атомов йода:

получаем:

Теперь, подставляя, получаем дифференциальное уравнение для I:

 

Решаем:

Получили закон Бугера, описывающий экспоненциальный рост (затухание) волны. Коэффициент усиления определяется как показатель закона Бугера:

Коэффициент усиления может быть как положительным, и тогда интенсивность экспоненциально растет, так и отрицательным, и тогда волна затухает – в зависимости от величины степени активации «a». При a=1/3 коэффициент усиления равен нулю, то есть имеет место равновесие между процессами вынужденного излучения и поглощения квантов.

Используя полученное ранее выражение для установившейся степени активации йода, получим окончательное выражение для коэффициента усиления слабого сигнала активной среды кислородно-йодного лазера: