Постулат. Если состояние y является суперпозицией состояний y1 и y2, то для соответствующих им векторов

|yñ = с₁|y₁ñ + с₂|y₂ñ, с₁, с₂С.

Примечание. Потом мы увидим, что с₁ и с₂ имеют вероятностный смысл. Пусть y₁ состояние электрона с проекцией -m, а y₂ - с проекцией +m, и пусть мы измеряем значение этой проекции. Тогда с вероятностью |с₁|² будем получать проекцию -m, а с вероятностью |с₂|² - проекцию +m. Поэтому должно быть

|с₁|² + |с₂|² = 1.

 

В пространстве векторов можно ввести не только операции умножения на числа и сложения, но и скалярное произведение любых двух векторов |yñ и |jñ, которое будем обозначать как áj|yñ. Свойства:

(а) линейность по второму аргументу

 

áj|с₁y+с₂yñ = с₁áj|yñ +с₂áj|yñ;

 

(б) эрмитовость

 

áj|yñ = áy|jñ*;

 

(в) положительная определенность

 

áy|yñ ³ 0: áy|yñ = 0 Û |yñ = 0.

 

 

Определение.Линейное бесконечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется гильбертовым пространством.

На самом деле в определение нужно включить еще требование полноты пространства (всякая последовательность Коши, или фундаментальная последовательность, сходится к некоторому вектору из H), но это требование является математическим, и в физике оно обычно не нужно.

Символы á¼| также можно рассматривать как векторы некоторого пространства, которое называется сопряженным исходному. Величины á¼| именуются совекторами, или бра-векторами. Их можно складывать между собой, как и векторы, но нельзя сложить вектор с совектором.

Заметим, что из линейности скалярного произведения по второму аргументу и из его эрмитовости следует антилинейность по первому аргументу:

 

ácj|yñ = c*áj|yñ .

 

Используется и другое обозначение – векторы без угловых скобок:

 

áj|yñ º (j,y).

 

(j,cy) = c(j,y); (dj,y) = d*(j,y).

 

Положительная определенность скалярного произведения позволяет ввести неотрицательное число ||yñ|| = , называемое нормой вектора |yñ (аналог обычной длины). Оно будет использоваться ниже.

Насколько однозначно определен вектор |yñ, сопоставляемый данному физическому состоянию y? Для ответа заметим, что суперпозиция состояния с собой не приводит к новому состоянию. Обобщаем это.