КВАНТОВЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА

 

Вернемся к картине Гейзенберга, в которой динамические уравнения имеют вид

 

.

А теперь вспомним классическую механику, в которой из канонических уравнений Гамильтона

 

,

 

следует, что любая динамическая переменная f=f(p,q,t) меняется во времени в соответствии с уравнением

 

df/dt = + {H,f}

 

где {H,f}есть обычная (классическая ) скобка Пуассона

 

{g,f} = .

 

Видим, что у нее есть прямой аналог - квантовая скобка Пуассона:

 

{H,f}_кл ® ,

 

или, вообще,

.

 

Аналогия простирается достаточно далеко - и там, и тут имеют место свойства:

 

1. Антисимметрия {G,F} = -{F,G};

2. Тождество Якоби {G,{F,H}} + {H,{G,F}} + {F,{H,G}} = 0;

3. Линейность {G,a₁F₁+ a₂F₂} = a₁{G,F₁} + a₂{G,F₂};

4. «Правило Лейбница» {GH,F} = G{H,F} + {G,F}H.

Дирак поставил такую задачу. Сопоставить классическим величинам f операторы так, чтобы классическая скобка Пуассона переходила в бинарную комбинацию со всеми формальными свойствами, перечисленными выше. И он показал, что этим условием квантовая скобка Пуассона определяется почти однозначно:

 

,

 

где a - некоторая универсальная постоянная, одинаковая для всех пар наблюдаемых. Осталось положить a = 1/i. Собственно говоря, при строгом построении квантовой механики именно здесь впервые и появляется постоянная Планка, и такой способ ее введения может служить просто ее определением.