Реферат Курсовая Конспект
НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ - раздел Механика, Л Е К Ц И Я 7 ...
|
Л Е К Ц И Я 7
Q®q+ q
где
qn= 2pik,
а k - произвольное целое число.
Удобно перейти к функциям Блоха
y(r) = ei/iqrUq(r),
которые можно рассматривать как плоские волны (с точностью до сделанного замечания), модулированные функцией Uq(r). Покажем, что функция Uq(r) является периодической с периодом потенциала. Из определения имеем
y(r) = y(r+n) = ei/iq(r+n) Uq(r+n).
С другой стороны, так как y(r) - собственная функция , то
y(r) = t(n)y(r) = ei/iqn y(r) = ei/iqr ei/iqn Uq(r) = ei/iq(r+n)Uq(r).
Сравнение дает
Uq(r+n) = Uq(r),
что и утверждалось. Если в уравнение Шредингера
-i2/2m ×Ñ2 y(r) +V(r) y(r) = Ey(r)
подставить функцию Блоха, то получим уравнение
(i2/2m×(Ñ+ i/i×q)2 + E(q) -V(r) )Uq(r) = 0.
. - . - . - .-
Пусть имеется бесконечная кубическая кристаллическая решетка, в которой движется электрон, отталкивающийся на гранях. Потенциал - аддитивный:
V(r) = ,
причем отталкивание моделируется дельта-функциями:
V(ri) =d(ri-na),
представляющие собой бесконечно высокие бесконечно тонкие потенциальные барьеры. Разделяя переменные, придем к одномерным задачам типа
-i2/2m×yRR(x) +V(x)y(x) = Ey(x),
где потенциал V(x) называется «гребенкой Дирака». Внутри одной ячейки, т.е. в интервале 0<x<a, потенциал равен нулю, так что уравнение Шредингера записывается как
-i2/2m×yRR(x) = Ey(x),
и имеет решение
y(x) = Aei/ipx+Be-i/ipx, E = p2/2m.
Одно граничное условие дает условие периодичности, из которого следует (см. выше)
y(x+a) = ei/i×qay(x).
Получим теперь условия сшивания решений при x<0 и x>0 в точке x=0, для чего запишем в окрестности этой точки уравнение Шредингера
-i2/2m×yRR(x) +V0(x)d(x)y(x) = Ey(x).
Интегрируем его по малому интервалу (-e,e) устремляя затем e ®0:
-i2/2m×.
Так как y(x) непрерывна, то при e ® 0 член справа стремится к нулю, и
-i2/2m×(yR(e)- yR(-e))+V0y(0) = 0,
откуда
yR(e) - yR(-e) = 2m V0/i2 ×y (0).
Но из условия периодичности
yq(a-e) = eiqa/i yq(-e) Þ yRq(-e) = e-iqa/i yRq(q-e),
а потому
yRq(e) - e-iqa/iyRq(a-e) = 2m V0/i2×yq(0).
Итак, мы имеем следующую систему граничных условий:
{ |
yq(a+e) = eiqa/iyq(e)
yRq(e) - yRq(a-e) e-iqa/i = 2m V0/i2 ×y q(0).
Для констант A и B, входящих в общее решение, они дают:
{ |
Aeipa/i+Be-ipa/I = eiqa/i(A+B)
i/i×pA - i/i×pB - i/i×pAei(p-q)a/i +
+ i/i×pB e-i(p+q)a/i = 2m V0/i2(+).
Для существования нетривиального решения детерминант должен быть равен нулю:
Легко раскрывая его, получим
cospa/i + m V0/pi2× sinpa/I = cosqa/i.
Это есть уравнение для отыскания допустимых значений p, а значит E. Оно разрешимо лишь в том случае, если модуль правой части не больше 1:
|cospa/i + m V0/pi2× sinpa/i| £ 1.
Имеются целые интервалы значений энергии, удовлетворяющие этому условию, и чередующиеся с ними интервалы, где условие не выполняется. Таким образом, энергетический спектр состоит не из отдельных уровней, а представляет собой последовательности запрещенных и разрешенных энергетических зон.
Разрешенные энергетические зоны называются зонами Бриллюэна.
Их границы определяются из соотношения
cosqa/i = 1.
Можно показать, что по мере роста энергии зоны Бриллюэна расширяются, а зазоры между ними уменьшаются, так что спектр приближается к непрерывному.
Итак, средние значения координаты и импульса подчиняются тем же уравнениям, что в классической механике. Это и есть теорема Эренфеста.
– Конец работы –
Используемые теги: нормировка, непрерывном, спектре0.06
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов