Как мы видели, в любой картине, в том числе в шредингеровской, средние значения меняются во времени в соответствии с уравнением
.
Применим его к одномерному движению частицы с гамильтонианом
= ,
полагая сначала =, а затем =:
, .
Вычисляем коммутаторы:
=
= ;
:
[V(),]y(x)=V()y(x)- V()y(x)=
= -V(x)iid y(x)/dx + iid y(x)/d(Vy) =
= -iiVd y(x)/dx+ii Vd y(x)/dx+iid V/dxy Þ [V(x),] =
= iidV /dx.
Подставляя в уравнения, получим квантовые аналоги уравнений Гамильтона:
.
Дифференцируя первое уравнение по времени и подставляя из второго, получим квантовый аналог второго закона Ньютона:
.