Продолжение

 

Чтобы найти волновые функции состояний a в координатном представлении, можно умножить обе части последней формулы слева на |xñ и учесть, что

áx |añ = y_a(x), áx|nñ = y_n(x).

 

Тогда получим

y_a(x) = y_n(x).

 

Просуммировать этот ряд можно, но хлопотливо. Поэтому будем действовать непосредственно. Ставим задачу на собственные значения оператора в x -представлении:

 

y_a(x) = ay_a(x),

или

y_a(x) = ay_a(x),

 

или, в явном виде

()y_a(x) = ay_a(x).

 

Общее решение уравнения сразу находится разделением переменных:

y_a(x) =A .

 

Обозначая Reºa₁, Imaºa₂ и определяя обычным способом A из условия нормировки, найдем

y_a(x) = .

 

Вводя еще обозначения

,

 

представим искомые волновые функции в виде

y_a(x) = ,

 

где - волновая функция основного состояния осциллятора.

Состояния , описываемые векторами (или собственными функциями y₀(y) оператора , называются когерентными состояниями. Они обладают рядом замечательных свойств.

1. В состояниях a соотношение неопределенностей минимизируется:

.

 

2. Средние значения координаты ( и импульса ) в когерентных состояниях меняются во времени по классическому закону:

(t) = x_кл(t) =Acos(wt+j).

 

3. Связь между средними x,p и E такая же, как в классике:

.

 

4. «Волновые пакеты», отвечающие когерентным состояниям, не расплываются, т.е. дисперсия координаты (и импульса) остается постоянной.

Можно сказать, что когерентные состояния наиболее близки к классическим. Они были открыты в связи с исследованием свойств когерентности лазерного излучения, а сейчас используются в самых разных разделах современной физики, в том числе и в физике низких температур.