Понятие передаточной функции

Под передаточной функцией системы понимают отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых условиях и равных нулю остальных воздействий на систему.

Пусть задано уравнение в стандартной форме:

(1)

где - входная величина;

- выходная величина;

- возмущающее воздействие;

- оператор Лапласа;

- операторные полиномы.

Под стандартной формой записи будем понимать такую форму записи, когда:

1. в левой части уравнения записаны выходная величина и её производные;

2. коэффициент при выходной величине равен 1;

3. форма записи операторная.

По сути, передаточная функция представляет собой видоизмененную запись того же дифференциального уравнения (1). Передаточная функция может быть записана по отношению к любому входному сигналу, как управляющему, так и возмущающему.

Предположим, что в уравнении (1) действие возмущающего сигнала f равно 0. Тогда:

Следовательно, передаточная функция по входному сигналу может быть записана следующим образом:

Аналогично может быть получена и передаточная функция по возмущающему воздействию f:

Рассмотрим пример, пусть дифференциальное уравнение системы, записанной в стандартной форме, имеет вид:

Передаточная функция по входному сигналу:

, где

Следует отметить, что если рассматривать передаточные функции одного и того же динамического звена, но по отношению к разным входным сигналам, то знаменатель всех передаточных функций будет одинаков.

mx´´+ bx´+ kx=F(t), (2)

где k – коэффициент жесткости подвеса;

m – масса;

b – коэффициент демпфирования;

x – отклонение чувствительного элемента акселерометра.

Разделим обе части уравнения (2) на σ, затем вынесем x за скобки, используя оператор дифференцирования, получим:

Входным параметром для полученного колебательного звена является F(t), выходным − x, т.е. передаточная функция имеет вид:

 

Сделаем замену:

,

где - постоянная времени;

- относительный коэффициент демпфирования.

В итоге имеем: