ЗАТУХАЮЩИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

В реальных условиях, кроме возвращающей силы в колебательной системе обязательно будет действовать и сила сопротивления. Будем считать, что скорости движения при колебаниях будут небольшими, тогда сила сопротивления прямо пропорциональна скорости:

, (13)

где r –коэффициент сопротивления. Учитывая только силу сопротивления (13) и силу упругости (1) согласно II закону Ньютона для уравнения движения получим:

, (14)

. (15)

Разделив правую и левую часть (15) на m и обозначив k/m = , а r/m = 2β, получим:

или . (16).

Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

к² + 2b·к + w= 0 имеет корни . (17)

Из (17) видно, что движение будет колебательным, только если b² < w. При этом условии корни (17) будут комплексными числами и решением уравнения (16) будет периодическая функция. Представим корни (17) в виде:

, где .

Теперь решением уравнения (16) будет функция:

s = е^-βt(С₁cosωt + C₂sinωt).

Заменяя С₁ и С₂ через другие постоянные А₀ и φ₀ такие, что С₁ = А₀cosφ₀, а С₂ = А₀sinφ₀ окончательно получим:

s = А₀е^−βtcos(ωt + φ_○) (18).

Это уравнение свободных затухающих колебаний, график которых представлен на рис.5. Как видно амплитуда свободных затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону:

А = А₀ е^−βt , (19)

(рис.5, пунктирная линия). Круговая частота этого колебания w =, а период Т = 2π /. Как видно, ни частота, ни период затухающих колебаний не равны соответствующим параметрам собственных колебаний системы.

Для описания быстроты затухания колебаний используют три взаимосвязанные величины: коэффициент затухания – β, декремент затухания – δ и логарифмический декремент затухания – λ. Коэффициент затухания b = , [b] = 1/с. Декремент затухания –

(20)

и логарифмический декремент затухания

l = ℓnd = ℓnе^βТ = βТ. (21)