Вращательное движение. Угловая скорость. Угловое ускорение. Период, частота. Связь между линейными и угловыми характеристиками.

Движение точки по дуге окружности радиуса R называется вращательным движением рис (4.1). Линия перпендикулярная плоскости вращения (плоскости в которой лежит траектория) и проходящая через центр окружности (точка О) называется осью вращения. Изменение положения точки при вращательном движении характеризуют углом поворота Dj радиуса кривизны траектории (измеряют в радианах).

ось вра- щения

Угол поворота удобно представить в виде вектора : вектор численно равен углу поворота Dj и направлен вдоль оси вращения согласно правилу правого винта. При вращении правого винта (буравчика) по направлению вращения, направление поступательного движения буравчика “показывает” направление вектора

Угловая скорость вращения равна первой производной от угла поворота :

R     направление поступате- льного движения

(4.1).

Вектор направлен так же, как и вектор (т.е. при Dt®0) (уравнение (4.1), рис. 4.1). Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным. В этом случае:

(4.2),

где j - угол поворота за время t.

Равномерное вращательное движение характеризуют периодом вращения Т - это время одного оборота (т.е. время поворота радиуса вращения на угол 2p). Из (4.2) получим для равномерного вращательного движения (взяв t = T и, соответственно, j = 2p)

(4.3)

Число оборотов в единицу времени n равно:

(4.4)

(Понятие периода Т и числа оборотов n можно использовать и для неравномерного вращательного движения, принимая за эти величины те значения, которые имела бы точка, если бы она вращалась равномерно с данным значением мгновенной скорости). Из (4.1) , (4.2) и определений Т и n следует:

Вектор может меняться как вследствие изменения скорости вращения вокруг оси (т.е. изменяется величина w), так и вследствие поворота оси вращения (т.е. меняется направление вектора ). Пусть за время Dt вектор изменился на D. Угловое ускорение равно:

(4.5)

Угловое ускорение есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени Если ось вращения не меняет своего направления, то изменения зависит только от изменения его величины Следовательно, для неизменного направления оси вращения из (4.5) получим :

(4.6)

В этом случае, при увеличении величины w вектор Dсовпадает с вектором (рис 4.2), при уменьшении – противоположен (рис. 4.3).

 

 

Из сказанного и уравнения (4.5) следует: направление вектора совпадает с направлением вектора при ускоренном вращении, и противоположно направлению при замедленном.

Из (4.6) получим: .

Найдем связь линейных характеристик движения (V, a, , ) с угловыми (w, b). Из рис.4.4 видно:

d S = d jR

 

. (4.7)

Учитывая правило векторного произведения можно записать (рис.4.4а):

векторперпендикулярен и т.е. перпендикулярен ).

Т.к. то, учитывая (4.7), получим:

 

(4.8)

Если ось вращения не меняет своего положения в пространстве, то (с учетом (4.7)):

Если при этом R = const , то получим :

. (4.9)

Из (3.8) , (4.8) и (4.9) находим:

Пример: равноускоренное вращательное движение по окружности радиуса R:

Из (4.6):

; (4.10), (см. 3.10).

Из (4.1):

 

(4.11.), (см. 3.11 и 3.12).

(4.11а).

 

Т.к. ,

(4.12), (см. 3.11 и 3.12).