Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Энергия гармонических колебаний

Скорость V_x равна: (18.1)

Подставим (17.7) в (18.1):

Обозначим (18.2)

Тогда: , (18.3)

где V_m - амплитуда скорости.

Видно, что скорость, так же как и x, меняется по гармоническому закону. Т.к.

то из (18.3) следует:

(18.3а)

Из сравнения (18.3а) и (17.7) видно, что разность фаз между x иV_x (другими словами - сдвиг фаз) равна p/2. В тех точках, где х =0 (т.е. для которых )

Ускорение равно:

Обозначим (18.4)

Тогда: , (18.5)

т.е. ускорение тоже подчиняется гармоническому закону; - амплитуда ускорения.

(18.5а)

Видно, что сдвиг фаз между и x равен p, (уравнения (18.5а) и (17.7); сдвиг фаз между и V_x - равен p/2 (уравнения (18.5а) и (18.3а))). (Отметим, что подстановка уравнений (18.5) и (17.7) в уравнение (17.6) с учетом (18.4) дает тождество - это означает, что (17.7) есть решение (17.6)).

В § 17 было показано, что незатухающие собственные гармонические колебания возникают при действии квазиупругой силы. Так же как и сила упругости - это консервативная сила. Так как других сил нет, то в рассматриваемом случае должен выполняться закон сохранения механической энергии (§ 15). Найдем кинетическую и потенциальную энергию гармонического колебания:

Подставим в первое из этих выражений уравнение(18.3), во второе - (17.7) (для краткости будем вместо писать j).

(18.6)

Подставим и найдем механическую энергию:

Из (17.5) следует: (18.7)

Тогда

С учетом (18.7) и (18.2) получим:

(18.8)