Занятие 2. Определители.
2.1. Понятие перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность (нечетность) перестановки.
2.2. Определитель -го порядка. Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
2.3. Основные свойства определителей.
2.1. Перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность (нечетность) перестановки.
Возьмем первые натуральных чисел: 1, 2, …, . Любой набор этих чисел, расставленных в некотором порядке, называется перестановкой.
Пример 1. Наборы ,, , , , представляют собой перестановки первых четырех натуральных чисел.
Число различных перестановок из символов 1, 2, …, равно .
Если в некоторой перестановке поменять местами два символа (не обязательно соседние), то получится новая перестановка, Такое преобразование перестановки называется транспозицией.
Пример 2. Перестановка получается транспозицией чисел 3, 4 из перестановки . Эту транспозицию запишем так: . В свою очередь, запись означает, что перестановка получена транспозицией чисел 4, 2 из перестановки .
В перестановке числа составляют инверсию, если , но .
Пример 3. Перестановка содержит 8 инверсий:
- три инверсии; - две инверсии; - две инверсии; - одна инверсия. Всего – 8 инверсий.
Перестановка называетсячетной (нечетной),если она содержитчетное (нечетное)число инверсий. Перестановка из примера 3 содержит 8 инверсий, значит она четная.
Если в определителе поменять местами любые две строки (или любые два столбца), то определитель изменяет знак.
Покажем действие свойства на примере определителя 3-го порядка.
.
Здесь над определителем проведены следующие преобразования:
1) в заданном определителе поменяли местами 1-й и 3-й столбцы;
2) во втором определителе поменяли местами 2-ю и 3-ю строчки.
Определитель не меняет своего значения, если к любой его строке прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число. Аналогичное действие применимо к столбцам определителя, т.е. определитель также не меняет своего значения, если к любому его столбцу прибавить любой другой столбец, умноженный на некоторое число.
Приведем действие свойства на примере определителя 4-го порядка.
.
Здесь к определителю последовательно проведены следующие преобразования:
1) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1);
2) затем в полученном (втором определителе) ко 2-й строке прибавили 4-ю строку, умноженную на число (-2).
В результате этих действий пришли к новому (третьему) определителю, содержащему пять нулевых элементов.
Очевиден следующий факт: чем больше нулевых элементов в определителе, тем проще его вычисление.
_____________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Определить четность перестановки .
2. Даны квадратные матрицы
, , , .
1) Вычислить определители матриц по правилам Саррюса.
2) Вычислить определитель матрицы с помощью свойств определителей (сведя его к определителю матрицы треугольного вида).