Понятие перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность нечетность перестановки.

Занятие 2. Определители.

2.1. Понятие перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность (нечетность) перестановки.

2.2. Определитель -го порядка. Правила Саррюса вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

2.3. Основные свойства определителей.

2.1. Перестановки. Инверсия, транспозиция. Четность (нечетность) перестановки.

 

Возьмем первые натуральных чисел: 1, 2, …, . Любой набор этих чисел, расставленных в некотором порядке, называется перестановкой.

Пример 1. Наборы ,, , , , представляют собой перестановки первых четырех натуральных чисел.

Число различных перестановок из символов 1, 2, …, равно .

Если в некоторой перестановке поменять местами два символа (не обязательно соседние), то получится новая перестановка, Такое преобразование перестановки называется транспозицией.

Пример 2. Перестановка получается транспозицией чисел 3, 4 из перестановки . Эту транспозицию запишем так: . В свою очередь, запись означает, что перестановка получена транспозицией чисел 4, 2 из перестановки .

 

В перестановке числа составляют инверсию, если , но .

Пример 3. Перестановка содержит 8 инверсий:

- три инверсии; - две инверсии; - две инверсии; - одна инверсия. Всего – 8 инверсий.

 

Перестановка называетсячетной (нечетной),если она содержитчетное (нечетное)число инверсий. Перестановка из примера 3 содержит 8 инверсий, значит она четная.

Любая транспозиция перестановки меняет ее четность.

Четность (нечетность) перестановки можно также определить по количеству транспозиций, переводящих эту перестановку в перестановку . Перестановка будет четной (нечетной), если для этого требуется провести четное… Пример 5.Перестановку можно перевести в перестановку с нормальным порядком расположения чисел следующими тремя…

Если в определителе поменять местами любые две строки (или любые два столбца), то определитель изменяет знак.

Покажем действие свойства на примере определителя 3-го порядка.

.

Здесь над определителем проведены следующие преобразования:

1) в заданном определителе поменяли местами 1-й и 3-й столбцы;

2) во втором определителе поменяли местами 2-ю и 3-ю строчки.

 

Определитель не меняет своего значения, если к любой его строке прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число. Аналогичное действие применимо к столбцам определителя, т.е. определитель также не меняет своего значения, если к любому его столбцу прибавить любой другой столбец, умноженный на некоторое число.

Приведем действие свойства на примере определителя 4-го порядка.

.

Здесь к определителю последовательно проведены следующие преобразования:

1) ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец, умноженный на (-1);

2) затем в полученном (втором определителе) ко 2-й строке прибавили 4-ю строку, умноженную на число (-2).

В результате этих действий пришли к новому (третьему) определителю, содержащему пять нулевых элементов.

Очевиден следующий факт: чем больше нулевых элементов в определителе, тем проще его вычисление.

 

Определитель, содержащий нулевую строку (или нулевой столбец) равен нулю.

.   . Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.Напомним: квадратная…

_____________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Определить четность перестановки .

2. Даны квадратные матрицы

, , , .

1) Вычислить определители матриц по правилам Саррюса.

2) Вычислить определитель матрицы с помощью свойств определителей (сведя его к определителю матрицы треугольного вида).