Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Абсолютная величина (модуль) действительного числа х обозначается |x| и определяется:

Из определения следует, что |x| ≥ 0 для любого x.

Существуют следующие теоремы:

1) Неравенство |x| ≤ a, где a>0, равносильно двойному неравенству:

-а ≤ х ≤ а

2) Из неравенства |x| ≥ а следует, что х ≥ а или х ≤ -а.

3) |x + y| ≤ |x| + |y|.

4) |x – y| ≥ |x| – |y|.

5) |x y| = |x| |y|, .

Примеры. 1) Решить неравенство |x – 3| ≤ 5.

Из 1-й теоремы следует двойное неравенство: -5 ≤ х – 3 ≤ 5 или -2 ≤ х – 3 ≤ 8.

2) Решить неравенство (x + 4)² ≥ 9.

Извлекая квадратный корень, получаем неравенство |x + 4| ≥ 3.

Из 2-й теоремы следуют неравенства: x + 4 ≥ 3 или x + 4 ≤ -3.

Далее, x ≥ -1 или x ≤ -7.