Вещественное действительное число и числовая прямая

РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление

Лекция 1. Функция

Множества и операции над ними

Множество – совокупность объединенных по некоторому признаку объектов. Объекты, образующие множество, называются его элементами или точками.

Запись aєA означает, что элемент а принадлежит множеству A. Запись bA означает, что элесент b не принадлежит множеству A.

Обычно множества обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, С, ..., X, У, Z, ..., а их элементы – малыми буквами латинского алфавита: а, b, с, ..., х, у, z, ... .

Иногда множество записывают с помощью фигурных скобок: А = {а₁; а₂; а₃; ...; а_п}.

Пустое множество – которое не содержит ни одного элемента; обозначается символом Ø.

Бесконечное множество – которое содержит любое конечное число элементов.

Множество В называется подмножеством (частью) множества A, если каждый элемент множества В является элементом множества A. Символически это обозначают так: В A.

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов: А = В.

Числовые множества – множества, элементами которых являются числа.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств:

С = AВ = {х | х є А или х є В}.

Пересечением двух множеств А и В является множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В:

С = AВ = {х | х є А и х є В}.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В:

С = A В = {х | х є А, х В}.

Если В A (В – подмножество множества A), то разность С = A В называется дополнением множества В до множества A.

Пример. Объединение: {1; 5; 6; 7}{2; 5; 6; 9} = {1; 2; 5; 6; 7; 9};

Пересечение: {1; 5; 6; 7}{2; 5; 6; 9} = {5; 6};

Разность: {1; 5; 6; 7} {2; 5; 6; 9} = {1; 7}.

Прямое (декартовое) произведение множествA и В – это множество C=AхВ, элементами которого являются все упорядоченные пары (x, y), в которых х є А, y є В.

A={2; 3; 9}; B={1; 4}. C=AхВ={(2; 1); (2; 4); (3; 1); (3; 4); (9; 1); (9; 4)}.

 

Вещественное (действительное) число и числовая прямая

Понятие действительного числа вводится поэтапно. Вначале возникло множество натуральных чисел – для нумерации или для счета: N… Если к множеству N добавить 0 и отрицательные целые числа, то получится множество целых чисел Z = {…, -3, -2, -1, 0,…

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Из определения следует, что |x| ≥ 0 для любого x. Существуют следующие теоремы:

Окрестность точки числовой прямой

Любую точку на числовой прямой можно охарактеризовать ее окрестностью.

Окрестностью точки а на числовой прямой называется любой интервал, содержащий в себе точку а.

Интервал (а – δ; а + δ), т.е. множество точек таких, что выполняется неравенство а – δ < x < а + δ или |x – a| < δ, где δ > 0, называется δ-окрестностью точки а.

Понятие функции

Говорят, что между элементами х и у существует функциональная зависимость. Множество X называется областью определения (множеством допустимых значений X… Символьное обозначение определения функции: или y=f(x). Буква f – символ правила, по которому значениям x ставятся в…

Способы задания функции

Функция считается заданной, если приведено правило для определения значения функции, соответствующего данному значению аргумента.

Наиболее часто используются аналитический, графический и табличный способы задания функции.

Аналитический способ состоит в представлении функции формулой (аналитическим выражением). Оно указывает алгоритм (порядок) выполнения действий над значением аргумента с целью получения соответствующего значения функции.

Например, y = 2x + 3 или y = 3x² – 4.

Если функция задается только аналитически без каких-либо дополнительных условий, то под ее областью определения D понимают совокупность всех тех значений аргумента x, для которых аналитическое выражение имеет смысл.

Например, необходимо исключать из области определения D все значения аргумента x, при которых выражение под знаком радикала (корня) четной степени становится отрицательным, или исключать все значения x, приводящие к делению на 0.

Например, областью определения функции является вся числовая ось (все множество действительных чисел R) ó ;

ООФ для функции является вся числовая ось, кроме точки x= - 4 (с «выколотой» точкой), т.е. объединение интервалов: ;

ООФ функции является отрезок –33, так как , и т.д.

 

Функция может быть задана двумя или бóльшим числом формул. Например, функция модуля у=|х| задается двумя формулами:

Аналитически функция может быть задана в явном или неявном виде. В рассмотренных примерах функция у была задана в явном виде y=f(x), т.е. формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной y.

Функция задана в неявном виде, если она описывается уравнением F(x,у)=0, т.е. не разрешенном относительно зависимой переменной у. Например, уравнение задает неявную функцию у.

Графический способ задания функции заключается в построении графика – некоторой линии в данной системе координат.

Например, в прямоугольной системе координат график функции состоит из точек координатной плоскости с координатами (x, f(x)). Каждая точка графика M(x, y) представляется как упорядоченная пара чисел (x, y), т.е. имеет абсциссу (соответствует значению аргумента х) и ординату (соответствует значению функции у).

Табличный способ задания функции состоит в задании функциональной зависимости в виде таблицы, содержащей ряд числовых значений аргумента и соответствующих им значений функции.

 

Основные свойства функций

Четность и нечетность.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис.1). Рис. 1.Четные функции

Монотонность.

Это значит, что для любых значений х1 и х2 из интервала (а,b) неравенству х1<х2 в случае возрастания функции соответствует неравенство f(x1) <… Рис.4 (a). Возрастающая функция Рис.4 (б). Убывающая функция

Ограниченность.

Например, тригонометрические функции y=sin x и y=cos x ограничены на всей числовой оси (-∞;+∞) и число М для них равно 1, так как |sin… График ограниченной функции лежит в полосе -М £ у £ М (рис.5).

Периодичность.

Период – наименьшее из положительных чисел, удовлетворяющих данному свойству. Примерами периодических функций служат тригонометрические функции y=sinx,… График периодической функции достаточно построить на отрезке длины Т, далее эта кривая повторяется на всю область…

Основные элементарные функции

1) Степенная функция: , где n – действительное число (nєR). 2) Показательная функция: , где а – положительное число, не равное единице (a… 3) Логарифмическая функция: , где – положительное число, не равное единице (a > 0, а≠1).

Тригонометрические функции

  2. у = соs x

Обратные тригонометрические функции

1. y = arcsin x

2. у = arcсоs x

 

3. у = arctg x

4. у = arcctg x

Сложная функция

u – промежуточный аргумент сложной функции. Например, – сложная функция, так как состоит из двух функций: и . Сложная функция составлена из трех функций: , , .

Элементарная функция

Например, функция является элементарной, так как она получена из основных элементарных функций:… Функция

Обратная функция

Если каждому , то каждому . Функции f и j называются взаимно обратными. Функцию, обратную данной функции f, обозначают f-1 или x=f-1(y), . Для обратной функции f-1 множество D – область…