Определение 1.Модой случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).
Если вероятность или плотность вероятности достигает не в одной, а в нескольких точках, то распределение называют полимодальным.
Определение 2. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, которое определяется равенством:
То есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше медианы или больше ее, одна и та же и .
Геометрически: вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой = , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части.
Пример: Найти моду, медиану и случайной величины Х с плотностью вероятности при
Построим кривую распределения
½ | |||
3/4 |
Определение 3.Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени этой величины.
Для дискретной случайной величины
Для непрерывной случайной величины
Определение 4. Центральным моментом
k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания.
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины:
Нетрудно заметить, что при первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание, т.е. , при - второй центральный момент – дисперсия, т.е. .
Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты по формулам:
Итак, первый начальный момент характеризует среднее значение или положение распределения случайной величины Х или ее .
Второй центральный момент - степень рассеивания распределения Х относительно - или .
Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Поэтому, чтобы получить безразмерную величину, ее делят на .
Определение 5.Коэффициентом асимметрии А называется величина, равная отношению третьего центрального момента к кубу среднего квадратического отклонения.
I. Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величинуотрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения более полога слева от(левосторонняя асимметрия).
II. Если коэффициент, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения более полога справа от(правосторонняя асимметрия).
Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.
Определение 1. Эксцессом случайной величины называется число:
I. Для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения (который будет рассматриваться далее) отношение. Поэтому эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого.
II. Если для данного распределения , то соответствующая кривая распределения более островершинная по сравнению с кривой нормального распределения.
III. Если , то кривая распределения более плосковершинная.
Пример: Случайная величина задана функцией:
Вычислим начальные моменты до 4-го порядка:
Найдем центральные моменты: