1. Распределение или распределение Пирсона (англ. статистик – 1857- 1936гг.)
Определение 1. Распределением с k степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, так как
, где
имеет нормальное распределение
Число k является параметром распределения. Число степеней свободы определяют как разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, ограничивающих свободу изменения этих величин. Так как в сумме слагаемые независимы, то число степеней свободы равно числу слагаемых, т.е. k.
Графики Пирсона при приведены на чертеже. Они показывают, что
- распределение асимметрично и обладает правосторонней асимметрией . При распределение случайной величины близко к стандартному нормальному закону
Определение 2. Дисперсия величины , т.е.
Определение 3. Если случайные величины и независимы, то их сумма имеет – распределение с числом степеней свободы , т.е.
2. Распределение Стьюдента (псевдоним англ. статиста В. Госсета) или
t- распределение.
Определение 4. Распределением Стьюдента называется распределение случайной величины Z:
, где
Z - случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е.
– независимая от Z случайная величина, имеющая - распределения с
k- степенями свободы.
Кривая - распределения с k степенями свободы симметрична оси ординат, но по сравнению с нормальной, более пологая. При t - распределение приближается к нормальному. При можно считать
t - распределение приближенно нормальным.
Определение 5. Математическое ожидание случайной величины, имеющей
t - распределение, в силу симметрии ее кривой распределения = 0, а ее дисперсия = , т.е.
3. Распределение Фишера (англ. статистик) или F- распределение.
Определение 6. Распределением Фишера называется распределение случайной величины:
, где
и - независимые случайные величины, имеющие - распределение соответственно с и степенями свободы.
Так как случайные величины и , то и .
При F- распределение приближается к нормальному закону.
§36Закон больших чисел и предельные теоремы.