Задача 12.2.2.

Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

 

Найти:

а) параметр а; б) функцию распределения ;

в) вероятность попадания случайной величины в интервал

г) математическое ожидание и дисперсию .
Построить графики функций и .

Решение:

Плотность распределения непрерывной случайной величины при m = 6, n = 1примет вид:

Используя свойства функций плотности и распределения, найдем:

а) параметр а;
б) функцию распределения;
в) вероятность попадания случайной величины в интервал

(m + + n + 1) = (6,5; 8);

г) математическое ожидание и дисперсию D.

 

а) Если все значения случайной величины принадлежат [], параметр а находиться из условия (условие нормировки)

Вычислим :

 

Отсюда, функция плотности распределения:

б) Функцию распределения находим по формуле:

 

.

При:

.

При :

 

При:

 

Функция распределения примет вид:

 

в) Вероятность попадания случайной величины в интервал (6,5; 8) можно вычислить двумя способами:

 

1 способ:

. В условиях задачи

 

P (6,5 <

2 способ:

По формуле:

; a=6,5; b=8

Тогда:

г) Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание находим по формуле:

М

Дисперсию вычисляем по формуле:

 

Строим графики и :