Задача 12.1.2.

В урне находится три шара белого цвета и (n+1) шаров черного цвета. Шар наудачу извлекается и возвращается в урну три раза. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:
а) Ровно 2 белых шара;
б) Не менее 2 белых шаров.

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами:

1 способ.
а) Пусть А – событие, что среди извлеченных три раза шаров окажется ровно два белых. Обозначим через В событие, что при однократном извлечении шар будет белым, тогда ему противоположное событие - шар будет черным. Событие А можно представить в виде:

, где

- первый и второй раз извлекли белый шар, а третий раз – черный;
– первый и третий раз извлекли белый, а второй раз черный;
– первый раз извлекли черный шар, а второй и третий раз – белый.

Так как слагаемые в А – несовместные события и каждое из произведений состоит из независимых событий, то по теоремам сложения и произведения вероятностей, получим:

 

.

По условию задачи в урне (n+1) шаров черного цвета. Пусть n=3, тогда в урне n+1=3+1=4 черных шара. Всего в урне: 3 белых +4 черных = 7 шаров.
Так как после извлечения и определения цвета шар возвращается в урну, то вероятность события В – извлечен белый шар постоянная в каждом испытании.
(всего шаров семь, благоприятствующих случаев 3 – белых). Тогда

 

и

б) Пусть С – событие, что среди извлеченных с возвращением три раза шаров не менее двух белых. Событие С можно представить в виде:

(А – среди извлеченных два белых, а – три раза извлекли белые шары). Снова применим теоремы сложения несовместных событий и произведения независимых событий: