Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которые это тело можно мысленно разбить:

,

(6.4.1)

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью , то линейная скорость i-й точки , R_i – расстояние до оси вращения. Следовательно,

,

(6.4.2)

Сопоставив (6.4.1) и (6.4.2), можно увидеть, что момент инерции тела I является мерой инертности при вращательном движении, так же как масса m – мера инерции при поступательном движении.
В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью v_c и вращательного с угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела

,

(6.4.3)

Здесь I_c – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

 

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек тела

Теоре́ма Гю́йгенса-Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени немецкого математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I^c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния R между осями:

где

m — масса тела,

R — расстояние между осями.