Согласно (1.2) энергия единицы объема
,
энергия фотона (1.6)
,
тогда средняя концентрация фотонов
.
Следовательно, вероятность обнаружения фотона в единице объема, или плотность вероятности, пропорциональна квадрату модуля волны
. (1.10)
Волна де Бройля
Корпускулярно-волновая двойственность присуща не только фотону, но и частице вещества согласно Луи де Бройлю (1924).
Луи де Бройль (1892–1987)
По аналогии с фотоном частица вещества описывается волной. Используя (1.8)
,
получаем, что частице массой m, движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией и с полной энергией Е сопоставляется волна де Бройля, или волновая функция (обозначаемая греч. буквой «пси»):
, (1.11)
,
.
Длина волны
. (1.13)
Чем больше энергия, тем меньше длина волны. Для электрона с энергией в пределах от 1 эВ до эВ длина волны лежит в пределах от ~ 1 нм до нм. В металлах длина волны де Бройля носителя тока порядка нанометра, в полупроводниках – несколько микрометров.
Плотность вероятности обнаружения частицы
, (1.14)
т. е. вероятность найти частицу в момент t в единичном интервале около точки x. Вероятность обнаружения частицы в интервале dx
. (1.15)
Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки
. (1.16)
Квантование Бора–Зоммерфельда
Условие максимума интерференции (1.3)
обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы. Учитывая (1.13)
,
получаем условие обнаружения частицы на траектории с номером n
.
Обобщение на случай замкнутой траектории, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , дает формулу квантования Бора–Зоммерфельда
, (1.17)
где
– квантовое число, или номер траектории, показывает число раз, которое длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;
– объем фазового пространства одномерного движения, занятого n состояниями.
Следовательно, квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h.
Формула (1.17) применимав квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом (1.13)
,
и (1.17) получаем условие применимости (1.17)
, , . (1.18)
Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.
Если частица движется по окружности радиусом c постоянным модулем импульса , то из (1.17) получаем
,
где учтено, что импульс частицы на траектории m направлен по касательной к траектории и выполняется
.
В результате проекция орбитального момента квантуется
, (1.19)
где ось z перпендикулярна плоскости траектории;
– магнитное квантовое число.