Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Оz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

 

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо­бьем ее на множество материальных точек с массами Δm_k. Каждая точка движется по окружности радиуса r_k

с касательным ускорени­ем

и нормальным ускорением , где ε — угловое ускорение.

Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:

— касательную

— нормальную

Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.

Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю: М_z - момент внешних сил.

Моменты нормальных сил инерции равны нулю, т. к. силы пересекают ось Z . Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны

 

где ε — общая величина, угловое ускорение тела.

Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величинаназывается моментом инерции тела от­носительно оси вращения и обо­значается J_z.

В результате получим выра­жение основного уравнения дина­мики вращающего тела:

Рис. 17.3

где М_z — сумма моментов внеш­них сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.

Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.

По выражению для момента инерции можно определить, что

единица измерения этой величины в системе СИ [ J_z ] = [mr²] = кг м².

Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от Оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса Со спицами и отверстиями.

 

Моменты инерции некоторых тел

Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4) .

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)

Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения (относительно zz, рис. 17.6а); (относительно z1 z1 , рис. 17.6б).

Момент инерции шара (рис. 17.7)

 

 

ЛЕКЦИЯ 19

Тема 2.1. Основные положения.

Нагрузки внешние и внутренние,

метод сечений

 

Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений.

Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.

 

Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.

Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.

Внешние силы должны быть определены методами теоретической механики, а внутренние определяются основным методом сопротивления материалов — методом сечений.

В сопротивлении материалов тела рассматриваются в равновесии. Для решения задач используют уравнения равновесия, полученные в теоретической механике для тела в пространстве.

Используется система координат, связанная с телом. Чаще продольную ось детали обозначают z, начало координат совмещают с левым краем и размещают в центре тяжести сечения.

Метод сечений

Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных частей.

Если все тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил.
Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой части тела. |

Рассекаем тело поперек плоскостью (рис. 19.1). Рассматриваем правую часть. На нее действуют внешние силы F₄ ; F₅;F₆ и внутренние силы упругости qk, распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором R _o поме­шенным в центр тяжести сечения, и суммарным моментом сил M_q:

 

 

Разложив главный вектор R₀ по осям получим три составляющие

где N_z — продольная сила;

Q_x — поперечная сила по оси х

Q_y — поперечная сила по оси у.

Главный момент тоже принято представлять в виде моментов пар сил в трех плоскостях проекции:

. М_х — момент сил относительно Ох;

М_у — момент сил относитель­но Оу

M_z — момент сил относительно Oz.

Полученные составляющие сил упругости носят название вну­тренних силовых факторов. Каждый из внутренних силовых фак­торов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние си­ловые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу де­тали внешние силы. Используя шесть уравнений равновесия, можно

получить величину внутренних силовых факторов:

Из приведенных уравнений следует, что:

N_z — продольная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Oz внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса; вызывает растяжение или сжатие;

Qx — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Ох внешних сил, действующих на отсеченную часть;

Q_y — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Оу внешних сил, действующих на отсеченную часть;

силы Q_x и Q_y вызывают сдвиг сечения;

M_z — крутящийся момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно продольной оси Oz; вызывает скручивание бруса;

М_х — изгибающий момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно оси Ох;

М_у — изгибающий момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно оси Оу;

моменты М_х и М_у вызывают изгиб бруса в соответствующей плоскости.