Сложение гармонических колебаний одного направления

Если точка одновременно участвует в двух или нескольких колебаниях, то происходит сложение этих колебаний.

Рассмотрим два случая: сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой и происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.

 

А) Сложим гармонические колебания, происходящие по одной прямой с одинаковой частотой

(5.36)

где амплитуды их колебаний А₁ ≠ А₂ и начальные фазы φ₁ ≠ φ₂.

Результирующее смещение колеблющейся точки х равно алгебраической сумме х₁ и х₂

(5.37)

После соответствующих тригонометрических преобразований уравнение (5.37) можно привести к виду

(5.38)

где А – амплитуда,

φ – начальная фаза результирующего колебания.

Теперь сложим колебания (5.36) геометрически. Смещения х₁ и х₂ можно представить как проекции вращающихся векторов и с одинаковой угловой скоростью ω.

Рис.5.11.

Результирующее колебание представляется в виде проекции вектора , вращающегося с той же угловой скоростью ω, и согласуется с уравнением (5.38) (рис.5.11). , , – углы, определяющие векторы , и. Угол между векторами иравен (5.39) В момент времени t = 0 углы, определяющие векторы , исоответственно равны φ1, φ2 и φ .

Тогда

(5.40)

Из ∆ОВД можно определить модуль вектора

(5.41)

Из рис.5.11 нетрудно показать, что α = 180° – (φ₂ – φ₂).

Так как

то

(5.42)

Из уравнения (5.42) видно, что результирующее колебание зависит от начальных условий (от разности фаз (φ₂ – φ₁)).

Если φ₂ – φ₁ = 2kπ (k = 0, 1, 2, …), то (5.43) примет вид

и A = A₁ + A₂,

т.е. при синфазных колебаниях амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний.

Если φ₂ – φ₁ = (2k + 1)π (k = 0, 1, 2, …), то cos(2k + 1)π = -1 и (5.42) принимает вид

А = |А₁ - А₂| ,

т.е. при противофазных колебаниях амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний.

Б) Рассмотрим сложение колебаний происходящих по одному направлению с одинаковыми фазами, с разными частотами ω₁ и ω₂, но мало отличающимися друг от друга

(5.43)

Для упрощения допустим, что амплитуды колебаний одинаковы А₁= А₂ =А₀ и начальная фаза равна нулю (φ = 0)

(5.44)

Результирующее смещение х равно

(5.45)

Выражение (5.45) представляет собой произведение двух колебаний с циклическими частотами и . Учитывая, что << , результирующее колебания приближенно можно считать гармоническим.

Амплитуда хоть и медленно, но изменяется со временем. На рис.5.12 изображен график функции (5.45) и на нем видно, что амплитуда то увеличивается, то уменьшается. Гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой называется биением.

Величина называется циклической частотой биения, а– период биения.