Фазовая и групповая скорости

Скорость распространения фазы колебания называется фазовой скоростью. Если в линейной среде распространяются несколько волн, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн. Каждая волна распространяется независимо от других волн. Независимые волны, накладываясь друг на друга, создают смещение частицы, равное геометрической сумме смещений, которые создают волны, участвующие в волновом процессе. В результате образуется волна, состоящая из группы синусоидальных волн, которая называется волновым пакетом. В волновом пакете частоты ω (длины волны λ) мало отличаются друг от друга.

Рассмотрим простой случай, когда волновой пакет состоит из двух волн, распространяющихся вдоль оси OX с близкими частотами ω и ω + dω, волновыми числами k и k + dk и с равными амплитудами A₀.

Тогда

 

ξ = A₀sin(ωt - kx) + A₀ sin[(ω + dω) t – (k + dk) x] =

= 2 A₀cos[(tdω – xdk)/2]sin(ωt – kx). (6.6)

Полученная волна не является синусоидальной, так как изменяется результирующая амплитуда A_рез:

 

. (6.7)

A_рез максимальна, когда tdω – xdk = 0. Отсюда можем записать:

 

, (6.8)

где u - групповая скорость.

Установим связь между групповой и фазовой скоростями. Учитывая, что ω = υk и λ = 2π/k получим:

 

 

или

 

(6.9)

 

 

Из формулы (6.9) вытекает, что фазовая и групповая скорости не совпадают (u > υ или u < υ в зависимости от знака dυ/dλ).

Производная dυ/dλ характеризует дисперсию волны. Если dυ/dλ = 0, то говорят об отсутствии дисперсии волн.

Групповая скорость равна скорости переноса энергии (сигнала) несинусоидальной волной.