Постулаты специальной теории относительности.

Относительность времени

Специальная теория относительности (СТО) представляет собой современную теорию пространства и времени. СТО иначе называется релятивистской теорией.Механика тел,которые движутся со скоростями,близкими к скорости света c = 3·10⁸ м/с называется релятивистской механикой. Классическая механика – механика малых скоростей (υ << c).

В СТО, как и в классической механике, предполагается, что время однородно (не зависит от выбора начала отсчета), пространство однородно (физические свойства системы и законы ее движения не зависят от выбора начала координат инерциальной системы) и изотропно (физические свойства и законы движения системы не зависят от выбора направления осей координат).

В основе СТО лежат два постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. В любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково. Этот постулат называется принципом относительности или релятивистским принципом относительности Эйнштейна.

Второй постулат выражает принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Более того, скорость света в вакууме c = 3·10⁸ м/с является предельной. Никакой сигнал, никакое воздействие тел друг на друга не могут распространяться со скоростью, превышающей c.

Из второго постулата следует, что события для наблюдателей, находящихся в неподвижной и подвижной системах отсчета, происходят не одновременно. Это можно показать.

Допустим, один наблюдатель находится в неподвижной системе К (х, у, z), а другой в подвижной системе (в кабине космического корабля) К’ (х’, у’, z’), которая движется (для простоты вдоль х) со скоростью υ (рис.7.1). Предположим, что в системе К’ находятся часы специальной конструкции, состоящие из неподвижных в этой системе источника света и двух параллельных зеркал, расположенных друг над другом. В этих часах свет включается на короткое время и испускается в пространство между зеркалами. В результате свет движется вверх и вниз, отражаясь попеременно от верхнего и нижнего зеркал.

Рассмотрим один из интервалов, когда свет движется сверху вниз. Пусть t время, за которое световой импульс с точки зрения наблюдателя системы К’ проходит расстояние, равное высоте кабины от верхнего до нижнего зеркала. Для наблюдателя в неподвижной системе K, исходя из постоянства скорости света, световой импульс будет двигаться наклонно и проходит путь, равный длине диагонали сt. При этом расстояние, на которое свет будет снесен за время t вследствие движения системы К’, будет равно υt. Из треугольника (рис.7.2) получаем, что

 

	(7.5) и откуда
Рис.7.2

 

и (7.6)

где

 

Из формулы (7.6) видно, что для неподвижного наблюдателя событие в движущейся системе длится дольше. Следовательно, течение времени не является абсолютным и зависит от движения системы отсчета, т.е. является относительным.

 

7.3. Преобразования Лоренца для координат и времени

Из постулатов СТО следует, что классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отчета к другой, заменяются другими, получившими название преобразований Лоренца.

Преобразования Лоренца показывают, что при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой изменяются не только пространственные координаты, но и время событий. Если учесть принцип симметрии, то при скорости υ движущейся системы отчета K’ (x’, y’, z’) относительно неподвижной К (х, у, z), скорость движения К относительно K’ будет -υ. Преобразования Лоренца для координат и времени, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой имеют вид:

К ® K’K’ ® К

 

(7.7)

При малых скоростях υ <<c преобразования Лоренца переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается принцип соответствия). При скоростях υ>c выражения (7.7) теряют физический смысл, так как координата и время становятся мнимыми. Это значит, что движение со скоростями больше скорости света в вакууме, невозможно.

 

7.4. Следствия из преобразований Лоренца

Первое следствие касается изменения размеров движущегося тела относительно неподвижного наблюдателя. Пусть система К’ движется со скоростью υ относительно К вдоль оси х (рис.7.3).

Длина стержня АВ, расположенного параллельно оси х, будет для системы К’:

 

ℓ₀ = х’₂ – х’₁,

 

а для системы К :

ℓ = х₂ - х₁.

 

Используя преобразования Лоренца (7.7), можно получить соотношение между ℓ и ℓ₀:

 

ℓ₀ = х’₂ – х’₁ =

 

т.е. ℓ₀ =, откуда . (7.8)

 

 

 

 

Рис.7.3

 

Поскольку υ<c, то для наблюдателя в неподвижной системе отсчета К, длина движущегося стержня (с ним связана система К’) укорачивается. Данное явление называется лоренцевым сокращением длины.

Аналогичный эффект наблюдается для тел любой формы: в направлении движения линейные размеры тела сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. При этом поперечные размеры тела не изменяются. В результате, например, шар принимает форму эллипсоида, сжатого в направлении движения.

Второе следствие касается разного течения времени в движущейся и неподвижной системе: для покоящегося наблюдателя событие длится дольше. Этот релятивистский эффект можно объяснить, используя преобразования Лоренца.

Пусть время начала и конца событий для наблюдателей в неподвижной и движущейся со скоростью υ системах отсчета будет соответственно (t₁ и t₂) и (t’₁ и t’₂). Тогда длительности событий для наблюдателей в этих системах:

 

t = t₂ - t₁ и t’ = t’₂ – t’₁ . (7.9)

 

Учитывая выражения (7.7) и (7.9), получим

 

или

(7.10)

Здесь t’ представляет собой промежуток времени, измеренный по часам, находящимся также в системе К’, т.е. неподвижным относительно тела и движущимся вместе с ним относительно системы К со скоростью υ. Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временемэтого тела (в данном случае, обозначено t’). Величина τ представляет собой промежуток времени между теми же событиями, измеренный по часам системы К, относительно которой тело (вместе со своими часами) движется со скоростью υ. С учетом этого формулу (7.10) можно представить в виде

(7.10а)

Из этой формулы (7.10а) следует, что собственное время меньше времени, отсчитанного по часам, движущимся относительно тела (т.к. часы, неподвижные в системе К, движутся относительно тела со скоростью –υ).

Поскольку t’< τ, можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы.

Релятивистский эффект замедления времени получил экспериментальное подтверждение. В состав космических лучей входят частицы, именуемые m-мезонами или мюонами. Они самопроизвольно распадаются на электрон (или позитрон ) и два нейтрино. Скорость движения мюона близка к скорости света c, а собственное время его жизни (т.е. время жизни, измеренное в системе, в которой они неподвижны) составляет около 2·10^-6с. За это время он может пройти путь порядка 600 м. Однако мюоны, преобразующиеся в космических лучах, на высоте порядка 20-30 км достигают поверхности Земли. Это объясняется тем, что время жизни (2·10^-6 с) измерено в системе отсчета, движущейся со скоростью, близкой к c, а для неподвижного наблюдателя, связанного с Землей, время жизни мюона гораздо больше. Если представить себе наблюдателя, движущегося вместе с мюонами, расстояние до поверхности Земли сокращается до 600 м (в соответствии с формулой (7.8)), поэтому мюоны успевают пролететь это расстояние за 2·10^-6 с.

Из преобразований Лоренца вытекает ещё ряд следствий, которые мы здесь не рассматриваем.

 

7.5. Релятивистская динамика. Связь массы и энергии

Все три закона динамики Ньютона выполняются и в рамках специальной теории относительности с учетом зависимости массы тела от скорости. Эта зависимость установлена экспериментально и выражается формулой

 

, (7.11)

 

где m - масса покоящегося тела;

m₀ - релятивистская масса или масса движущегося тела.

Согласно СТО все законы природы и уравнения физических законов инвариантны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность выполняется и при преобразованиях Лоренца. Так в рамках СТО импульс тела описывается формулой

(7.12)

где - релятивистский импульс.

В релятивистской механике выполняются также законы сохранения релятивистского импульса и релятивистской массы.

Основной закон релятивистской динамики имеет вид:

(7.13)

 

Из теории относительности Эйнштейна вытекает фундаментальный закон природы: закон взаимосвязи массы и энергии. Этот закон формируется так: полная энергия системы E равна произведению полной релятивистской массы m на квадрат скорости света в вакууме с². Математическое выражение этот закон имеет вид:

Е = , (7.14)

где m₀ - масса покоя, а β = υ/c.

В релятивистской механике, также как и в механике классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия системы остается неизменной.

В релятивистской механике изменение кинетической энергии Т_к происходит при изменении релятивистской массы:

dT_k = c²dm,

где dm - приращение релятивистской массы. Тогда

T_k = . (7.15)

Полная энергия на основании закона взаимосвязи массы и энергии:

 

Е =

Из (7.14) и (7.15) видно, что T_k = Е – Е₀ .

 

Используя формулы (7.13) и (7.11) можно выразить полную энергию через импульс

Е² = Е²₀ + (pc)²

или

 

Закон взаимосвязи релятивистской массы и энергии подтвержден экспериментами и широко используется при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

 

Специальная теория относительности и квантовая механика служат теоретической базой современной физики