Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле обусловлена взаимодействием этой частицы с телами.
Если силы зависят только от расстояния между взаимодействующими частицами и направлены вдоль прямой их соединяющей, то они называются центральными. Их примером являются гравитационные, кулоновские и упругие силы. Центральные силы можно записать как
, здесьявляется функцией только расстояния , - орт, задающий направление радиуса - вектора частицы относительно частицы О.
Докажем, что центральные силы являются консервативными. Найдем сначала работу центральной силы в случае, когда силовое поле создано одной неподвижной частицей О. Элементарная работа над частицей М равна:
; поскольку - проекция вектора перемещения на вектор или на радиус-вектор . Другими словами, - приращение радиуса-вектора . Тогда вся работа . Этот интеграл не зависит от формы пути, а зависит только от вида функции и от пределов интегрирования и т.е. от расстояний.
Если на частицу в силовом поле действует несколько центральных сил, то работа при перемещении из т.1 в т. 2 равна алгебраической сумме работ отдельных сил , а, т.к., работа каждой из них не зависит от пути, то и работа результирующей силы также от пути не зависит.
Таким образом, центральные силы являются консервативными.