Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля.

Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий , т.к. он применим и к силам, для которых нельзя ввести понятие потенциальной энергии (силы трения, например). Второй способ применим к консервативным силам, для которых введено понятие потенциальной энергии. Он удобен тем, что между потенциальной энергией и силой со стороны поля существует определенная связь. Зная эту связь, можно по виду зависимости — функции положения частицы в поле, находить поле сил .

Найдем эту связь. Известно, что работа консервативных сил при перемещении частицы из одной точки поля в другую может быть представлена в виде убыли потенциальной энергии частицы . Это можно также записать и для элементарного перемещения .

, т.е.

Как видно из рисунка, ; — элементарный путь. Значит, ; Здесь величина есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения ; Отсюда:

т.е. проекция силы , действующей на частицу в данной точке поля, на направление перемещения равна убыли потенциальной энергии частицы в этом направлении. Символ указывает на то, что производная берется по определенному направлению.

Перемещение можно брать в любом направлении, например, вдоль осей координат. Если перемещение происходит вдоль оси то ; а , — проекция силы на орт (а не на перемещение , как в случае ). Тогда, относительно оси можно записать:

.
Символ означает, что при дифференцировании должна рассматриваться как функция только одного аргумента , а остальные аргументы должны оставаться при этом постоянными. Для проекций силы на другие оси выражения будут аналогичными: ; .

Зная проекции можно найти и сам вектор или .

Выражение в скобках называется градиентом скалярной функции , и обозначается или .

— символический вектор или оператор Гамильтона. Действие этого оператора на скалярную функцию — формально можно рассматривать как произведение символического вектора на скаляр .

Таким образом, между силой со стороны поля и потенциальной энергией как функцией координат существует зависимость:

сила, действующая со стороны поля на частицу равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии частицы в данной точке поля.Эта формула позволяет, зная зависимость , найти вид зависимости .