Уравнение динамики вращения твердого тела.

Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси :

и подставив значение , выраженное через момент инерции относительно той же оси вращения: . После подстановки:

 

. Откуда следует: . Или:

, (*) – уравнение динамики вращения твердого тела.

Здесь —суммарный момент всех сил относительно оси вращения . Отсюда видно, сравнивая со вторым законом Ньютона, что во вращательном движении роль массы играет момент инерции тела, аналогом линейного ускорения выступает угловое ускорение , а роль результирующей силы играет суммарный момент внешних сил . Момент инерции определяет инертные свойства вращающегося тела. Если масса не зависит от выбора системы отсчета, то зависит от выбора оси, относительно которой он определяется.

Для однородного тела, симметричного относительно оси вращения момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает по направлению с вектором , в этом случае модуль момента импульса равен - модулю проекции на ось . С учетом того, что , получим:

, а т.к. векторы и имеют одинаковое направление, то:

.

Значит, в отличие от выражения , справедливого для любого тела, соотношение имеет место в случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии, а также для несимметричного тела, вращающегося вокруг одной из главных осей инерции.

Интегрирование уравнения (*) с учетом начальных условий и при позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела, т.е. найти , в любой момент времени в системе отсчета, жестко связанной с осью вращения.