Рассмотрим механическую систему , положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть угол, расстояние, энергия, скорость, ускорение и т.п. Потенциальная енергия системы тогда будет функцией одной переменной х, т.е., .Допустим что система обладает устойчивым положением равновесия. В этом положении тогда можно положить, что .
Разложим функцию в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора) по степеням х и ограничимся малыми колебаниями, т.е., степенями 2-го порядка. Энергию их отсчитываем от положения равновесия. Тогда:
Производная , а положительна для минимума функции. Обозначив , -константа, при этом , получим:
, это выражение аналогично энергии сжатой пружины.
Используя связь между силой и потенциальной энергией: , найдем силу, действующую на систему:
,
что тождественно упругой силе деформации пружины. (-не только коэффициент упругости, а и постоянная в разложении)
Поэтому силы вида называют квазиупругими. Они направлены к положению равновесия, пропорциональны х, и называются возвращающими.
Рис.7,1
Пример гармонических колебаний: В положении равновесия (*).Сместив шарик в положение х, получим удлинение , а сила или с учётом (*) , т.е. результирующая сил тяжести и упругой является квазиупругая сила.
Рис.7,2
Дадим смещение и отпустим шарик.Он будет двигаться к положению равновесия со скоростъю . Потенциальная энергия будет убывать, зато появится кинетическая . Затем движение замедляется и шарик остановится, когдапревратится в потенциальную энергию и смещение станет равным . Затем движение повторится в обратном направлении.