Малые колебания

Рассмотрим механическую систему , положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть угол, расстояние, энергия, скорость, ускорение и т.п. Потенциальная енергия системы тогда будет функцией одной переменной х, т.е., .Допустим что система обладает устойчивым положением равновесия. В этом положении тогда можно положить, что .

Разложим функцию в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора) по степеням х и ограничимся малыми колебаниями, т.е., степенями 2-го порядка. Энергию их отсчитываем от положения равновесия. Тогда:

Производная , а положительна для минимума функции. Обозначив , -константа, при этом , получим:

, это выражение аналогично энергии сжатой пружины.

Используя связь между силой и потенциальной энергией: , найдем силу, действующую на систему:

,

что тождественно упругой силе деформации пружины. (-не только коэффициент упругости, а и постоянная в разложении)

Поэтому силы вида называют квазиупругими. Они направлены к положению равновесия, пропорциональны х, и называются возвращающими.

 

Рис.7,1

 

Пример гармонических колебаний: В положении равновесия (*).Сместив шарик в положение х, получим удлинение , а сила или с учётом (*) , т.е. результирующая сил тяжести и упругой является квазиупругая сила.

 

Рис.7,2

 

Дадим смещение и отпустим шарик.Он будет двигаться к положению равновесия со скоростъю . Потенциальная энергия будет убывать, зато появится кинетическая . Затем движение замедляется и шарик остановится, когдапревратится в потенциальную энергию и смещение станет равным . Затем движение повторится в обратном направлении.