Гармонические колебания.
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида 
имеет вид:
или 
(* ) ,
здесь 
. Поскольку, 
>0, то 
-вещественная величина. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Такие уравнения решают с помощъю подстановки 
, 
-постоянная величина. После чего получают алгебраическое уравнение
с мнимыми корнями 
и 
, называемое характеристическим.
Его общее решение имеет вид: 
, где 
,
-комплексные постоянные
Решение уравнения (*) имеет вид:
, где 
, 
-произвольные постоянные, которые для каждого конкретного колебания определяются начальными условиями: 
и
при t = 0, -амплитуда колебаний;
-фаза, -начальная фаза, 
- период колебаний, равный 
.
Период находится из условия 
, 
Таким образом, смещение изменяется по закону 
или 
.Следовательно движение системы, под действием силы вида 
представляет собой гармоническое колебание. Его график показан на рисунке.
Рис.7,3
Выражение для скорости и ускорения системы имеют вид:
Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная механическая энергия гармонического колебания должна сохраняться. При колебаниях происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
В крайних положениях системы: 
, в положении равновесия 
т.е. 
Со временем 
, а 
Сложив, с учётом 
, найдем полную энергию колебаний: 
, т.е., постоянно.
Среднее значение 
и 
=
, поэтому среднее значение кинетической энергии
совпадает со среднем значением потенциальной энергии 
и равно 
.