Затухающие колебания

 

В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае сила сопротивления пропорциональна скорости ; r –коэффициент сопротивления. (знак минус, т.к. и имеют противоположные направления )

С учётом 2-ой закон Ньютона имеет вид

или (**)

Это уравнение описывает затухающие колебания системы.

 

В уравнении затухающих колебаний -частота колебаний, если бы они были свободными, т.е. в отсутствие сил сопротивления. Это собственная частота системы.

Подстановка в диференциальное уравнение приводит к алгебраическому уравнению

с корнями и

При не слишком большом затухании подкоренное выражение будет отрицательным. Представим его в виде , где - вещественная величина .

Общее решение уравнения (**) имеет вид : .

Здесь , т.е., это есть гармонические колебание частоты с амплитудой, меняющейся со временем . Скорость затухания определяется коэффиентом затухания . Период затухающих колебаний ; При небольшом сопротивлении период и растет с ростом .

Рис.7,7

 

Для характеристики скорости затухания колебаний вводят физическую величину – декремент затухания – это отношение амплитуд колебаний, отвечающих моментам времени, отличающимся на период: , а его логарифм называется логарифмическим декрементом затухания.

Для характеристики колебательной системы обычно используется . Если выразить , то закон убывания амплитуды можно записать:

. Отсюда видно, что за время , за которое амплитуда уменьшается в раз, система успевает совершить колебаний. Из условия : . Т.е., можно сказать, что по величине обратно числу колебаний, совершенных за время , за которое амплитуда уменьшается в раз.

Как техническая характеристика колебаний, часто употребляется добротность:. Другое определение добротности : это отношение энергии колебаний, запасенной в контуре в данный момент, к потерям этой энергии за один период колебаний, умноженной на :

Из формулы для периода колебаний следует, что с ростом коэффициента затухания период увеличивается и при становится равным бесконечности, т.е., колебания прекращаются. При движение носит апериодический характер: система, выведенная из положения равновесия, возвращается в исходное состояние не совершая колебаний одним из двух путей в зависимости от величины начальной скорости, рис. . .

 

Рис.7,8