Вынужденные колебания

Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону , то уравнение 2-го закона Ньютона:

или с обозначениями , ,

(*)- уравнение вынужденых колебаний. Здесь -частота внешней силы, -собственная частота системы.

Это неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого состоит из суммы решений соответствуещего однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.

Решение однородного уравнения известно: , это затухающие колебания с частотой , ,-произвольные постоянные.

Частное решение уравнения (*) имеет форму: или, раскрывая его:

(**)

где -амплитуда колебаний, а - фаза.

Это решение не содержит произвольных постоянных. Значение представляет собой отставание по фазе вынужденного колебания от вынуждающей силы F.

Сумма решений дает обшее решение уравнения (*), описывающего вынужденные колебания. Первое слагаемое играет заметую роль только в начальной стадии процесса, т.е., при установлении колебаний. Со временем амплитуда этого слагаемого экспоненциально падает и им можно пренебречь, сохраняя второе слагаемое. Таким образом, функция (**) описывает установившееся колебание,которое происходит с частотой , т.е., равной частоте внешней силы.Их амплиткда пропорциональна амплитуде вынуждающей силы , и для данной системы (с параметрами ,) зависит от частоты внешней силы. Отставание по фазе также зависит от .

Рис.7,9