Уравнение плоской и сферической волн.

 

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат ,,и времени : .

Эта функция должна быть периодической относительно времени, т.к. она описывает колебания частицы с координатами ,,, и периодическая относительно координат, т.к. точки среды, отстоящие друг от друга

на длину волны , колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции для плоской волны, для гармонических колебаний, распространяющихся вдоль оси .Волновые поверхности здесь перпендикулярны оси , и смещение будет зависить только от и . Уравнение колебаний точек в плоскости имеет вид:

Рис.8,2

 

Найдем уравнение колебания для точки с произвольным , дойти до которой волне требуется время . Значит колебания частиц в плоскостибудут отставать во времени на от колебаний в плоскости :

* - уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси со скоростъю ,

величина - фаза волны, начальная фаза определяется выбором начала отсчёта и , для одной волны обычно принимают .

Зафиксировав определенное значение фазы , можно найти связь между коорлинатой и временем для которых , а величина при этом даёт значение скорости, с которой перемещяется это значение фазы т.е., можно проследить движение определенной фазы волны. Взяв дифференциал от , получим: и .

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении (*) есть скорость перемещения фазы, поэтому ее называют фазовой скоростъю волны.

Уравнение (*) описывает волны, распространяющиеся в сторону возрастания . Волна обратная имеет вид: .

Уравнению волны можно придать более симметричный вид относительно и , если ввести понятие волнового числа

и волнового вектора , где - нормаль к волновому фронту. Умножив числитель и знаменатель на , получим: . Тогда, и уравнение волны:

.

Теперь найдем уравнение сферической волны для точечного источника. Все точки сферической волновой поверхности волны в однородной и изотропной среде будут колебаться с одинаковой фазой. Если фаза источника , то фаза точек волновой поверхности радиуса равна . Амплитуда колебаний сферической волны будет убывающей, даже если нет затухания и убывает по закону . Тогда уравнение сферической волны: . Для поглощающей среды появится дополнительный множитель .

Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении имеет вид: .