Перемещение, элементарное перемещение.

 

Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен , а в момент времени ее радиус-вектор равен . Длина траектории точки -.

Вектором перемещения точки за промежуток от до называется приращение радиуса-вектора точки за это время . Он направлен вдоль хорды стягивающий соответствующий участок траектории точки. Поэтому во всех случаях, кроме движения точки по прямой, модуль перемещения меньше длины пути за этот же .

Однако, по мере уменьшения длины пути разность между хордой и перемещением уменьшается. Следовательно, рассматривая элементарное перемещение по траектории за достаточно малый промежуток времени (от до ), можно пренебречь отличием между и модулем перемещения за это время. Значит, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, также как единичный вектор касательной . Таким образом,

Вектор перемещения материальной точки за любой конечный промежуток времени от до можно представить в виде:

,

где приращения соответствующих координат точки за время .

 

Следует заметить, что в математике и физике имеется некоторое различие в толковании смысла обозначений и . В математике и представляют собой дифференциалы соответствующих функций, т.е. равны линейным частям приращений этих функций при произвольном изменении аргумента от до , рис. . По определению в математике дифференциал аргумента: , а – функции: и ;

где и - производные по времени от функций и. Очевидно, что приращения функций и существенно отличаются от дифференциалов этих функций,что видно из рис..

В физике различают произвольное (конечное) приращение аргумента и дифференциал аргумента . Под дифференциалом аргумента понимают столь малое его приращение (элементарное), при котором разностью между соответствующим приращением функции и линейной частью её приращения можно пренебречь т.е. . Поэтому, в физике, используя предложенные Лейбницем обозначения производной , трактуют эти выражения как отношения не математических дифференциалов функции и аргумента, а малых (элементарных) приращений функции и аргумента.

1.6. Скорость.

Для характеристики направления и быстроты движения точки вводится векторная физическая величина-скорость.

Пусть за произвольное время точка переместилась из т.1 в т.2. Вектор перемещения представляет собой приращение радиуса-вектора за время . Отношение называется средней скоростью точки за время или скоростью перемещения. Направление вектора совпадает с перемещением .

Скорость точки в заданный момент времени, т.е., мгновенная скорость, определяется как предел отношения при ,

т.е. равна производной от радиуса-вектора по времени и направлена по касательной к траектории в заданной точке в сторону ее движения. Модуль скорости . Вектор можно разложить по базису , т.е., на три составляющие по осям декартовой системы координат

;

; ; ;

;