Движение точки характеризуется также ускорением—быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время изменяется на величину , то величина
называется средним ускорением точки за это время. Ускорение в данный момент времени:
;
т.е. вектор равен производной по времени. Направление вектора совпадает с направлением приращения скорости за . Поскольку, , то ускорение точки можно записать как вторую производную по времени от радиуса-вектора:
;
Вектор ускорения можно разложить по компонентам : ; где , соответственно, …проекции ускорения на оси координат.
Если траектории точки плоская кривая, то для описания движения можно выбрать два перпендикулярные друг к другу направления: касательной к траектории (орт ) и нормали к ней (орт ). Тогда раскладывается по составляющим .
Поскольку вектор скорости , то подставив сюда элементарное перемещение , получим для скорости: .
Тогда для ускорения точки можно записать:
;
Из рис. видно, что есть разность векторов и . Видно, что есть приращение орта касательной к траектории, соответствующее элементарному пути за время .
|
При перемещении по траектории на длину единичный вектор поворачивается на угол . Из равнобедренного треугольника векторов , ввиду малости ;
По направлению совпадает с ортом : при вектор становится перпендикулярным . Тогда производная:
и полное ускорение точки
;
Отсюда видно, что — касательное (тангенциальное) ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. При ускоренном движении и совпадает с , при замедленном и противоположно .
Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. Оно направлено к центру кривизны траектории; ; поэтому его также называют центростремительным. При прямолинейном движении .
Модуль полного ускорения
;
При ускоренном движении угол острый, рис. , при замедленном - тупой (угол между и ). Если точка движется по окружности равномерно, т.е. , то и , т.е. перпендикулярно касательной к траектории.