Решение задачи Буссинеска. Основано на следующих гипотезах (впоследствии подтвержденных точными решениями):
а) нормальные напряжения на площадках, касательных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, являются главными напряжениями. По этой причине касательные напряжения на указанных площадках отсутствуют;
б) нормальные напряжения, лежащие в вертикальной плоскости, на площадках, нормальных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, равны нулю;
в) нормальные напряжения на площадках, касательных к сферической поверхности с центром в точке приложения силы, прямо пропорциональны косинусу угла видимости и обратно пропорциональны квадрату радиуса сферы. Под углом видимости понимается угол между радиусом сферы, проведенным в центр площадки, и центральной вертикальной осью сферы.
Постулированные гипотезы позволяют получить замкнутые аналитические решения о распределении напряжений в полупространстве от действия вертикальной силы на его границе, основанные исключительно на уравнениях равновесия. Решение задачи поясняется графическими построениями на рис. 4.5, на котором представлены вертикальный разрез полупространства и его сечения горизонтальными плоскостями.
Начало прямоугольной декартовой системы координат разместим в точке приложения вертикальной силы Р на границе полупространства. Ось z направим по вертикали вниз, ось x – по горизонтали вправо, а ось y – перпендикулярно плоскости чертежа. Относительно начала осей координат построена полусфера радиусом R, пересечение которой с вертикальной плоскостью, проходящей через центральную ось, образует полуокружность такого же радиуса. В сечении полусферы горизонтальной плоскостью на глубине z образуется окружность радиусом r. Угол видимости радиуса r на вертикальном разрезе обозначим β.
В сечении полусферы горизонтальной плоскостью на глубине z – dz образуется окружность радиусом r + dr с углом видимости на вертикальном разрезе β + dβ. Рассмотрим равновесие сферического кольца, выделенного из полусферы двумя горизонтальными плоскостями на глубине z и z – dz. С учетом того, что длина образующей сферического кольца равна R∙dβ, площадь его поверхности определится формулой: S = 2⋅π⋅r⋅R⋅dβ. На поверхности сферического кольца действуют нормальные напряжения σR, а касательные напряжения, в соответствии с гипотезой а), отсутствуют. Найдем напряжения σR из условия равновесия проекций всех сил, действующих по поверхности полусферы радиусом R, на вертикальную ось z.
Рис. 4.5. Графическое построение к решению задачи Буссинеска
Условие равновесия:
(4.1)
В соответствии с гипотезой в), σR = A cosβ/R2. Кроме этого, r = R ⋅ sinβ. Подставляя в уравнение (3.1) выражения для σR и r и выполняя преобразования, получим:
(4.2)
Выполняем замену переменных в уравнении (4.2): u = cosβ, du = − sinβ ⋅dβ. Продолжая преобразования, получим выражение для неопределенного коэффициента А:
; (4.3)
Выразим cosβ через ординату z: cosβ = z/R. С учетом этого, формула для определения напряжения σR будет иметь вид
. (4.4)
Практический интерес представляют напряжения на горизонтальной площадке, наклоненной к площадке, на которой действуют напряжения σR, под углом β. В соответствии с гипотезой б) главный вектор напряжений на горизонтальной площадке σ′R совпадает по направлению с вектором напряжения σR, а его модуль равен σ′R = σR ⋅ cosβ. Проекции главного вектора напряжений σ′R на координатные оси являются компонентами тензора напряжений на горизонтальной площадке. Поскольку главный вектор напряжений σ′R совпадает по направлению с радиусом вектором R, направляющие косинусы вектора напряжений определяются формулами:
. (4.5)
С учетом полученных выше зависимостей, компоненты тензора напряжений на
горизонтальной площадке будут определяться формулами
; (4.6)
.
Формулу для σz обычно табулируют. Для этого выполняют следующие преобразования:
(4.7)
, (4.8)
В дальнейшем для практических расчетов расчетную схему задачи приводят к более простому виду (рис. 4.6). Вертикальные напряжения в расчетной точке М определяют по формуле
.
|
Z – глубина точки;
r – расстояние от точки до линии действия силы;
М – рассматриваемая точка;
N – сосредоточенная вертикальная сила.