Определение нормальных напряжений при плоском изгибе

Рассмотрим балку, испытывающую деформацию чистого изгиба. При таком виде деформации ее сечения относительно друг друга перемещаются только вдоль оси ОZ (рисунок 12.3).

Рисунок 12.3

Вырежем элемент балки длиной dz. Рассмотрим элементарный участок площади dА. Нормальная сила и изгибающие моменты, действующие на эту площадь, равны:

(12.1)

(12.2)

(12.3)

Для вывода формулы нормальных напряжений при изгибе воспользуемся рисунком 12.4, где изображена часть изогнутой балки длиной dz. Ее верхние волокна сжимаются, нижние получили абсолютное Рисунок 12.4 удлинение Δdz.

На рисунке обозначены:

r – радиус кривизны нейтрального слоя; где волокна балки не деформируются;

у – расстояние от нейтрального до рассматриваемого слоя 1-1.

Слой 1-1 до деформации имел длину , после деформации

Абсолютная деформация .

Относительная деформация ;

. (12.4)

На основании закона Гука . Таким образом, нормальные напряжения в рассматриваемом слое

. (12.5)

Формула (12.5) показывает, что нормальные напряжения в поперечном сечении изогнутой балки прямо пропорциональны расстоянию до рассматриваемой точки от нейтрального слоя. На нейтральном слое у = 0; и = 0. Однако в виде (12.5) для определения напряжений использовать формулу нельзя, так как неизвестно положение нейтрального слоя.

Подставим полученное выражение (12.5) в формулы (12.1), (12.2) и (12.3).

Нормальная сила в сечении бруса

так как , то интеграл, равный статическому моменту площади, равен нулю:

Поскольку, то нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Изгибающий момент относительно оси у в соответствии с формулой (12.2)

Отсюда получаем

Так как центробежный момент инерции равен 0, то оси x и y являются главными центральными осями.

Изгибающий момент относительно оси x

, или .

Получена основная формула теории изгиба

(12.6)

Величина называется кривизной изогнутой оси балки. Она характеризует величину деформации при изгибе. – жесткость сечения балки при изгибе.

Подставляя (12.5) в (12.6), получим

;

(12.7)

По формуле (12.7) определяются нормальные напряжения при плоском изгибе.

Из анализа выражения (12.7) видно, что наибольшие напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. В нейтральном слое нормальные напряжения равны нулю. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения балки приведено на рисунке 12.5.

Рисунок 12.5

Так как отношение осевого момента инерции сечения к максимальному расстоянию y равно моменту сопротивления сечения

,

то формула для определения наибольших нормальных напряжений (на крайних волокнах балки) примет вид

(12.8)