Определение касательных напряжений при плоском изгибе

Наличие поперечной силы в сечениях балки при изгибе вызывает возникновение касательных напряжений. Для определения касательных напряжений рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения со сторонами b и h (рисунок 12.6, а и б).

Рисунок 12.6

Вырежем из балки элемент длиной dz и шириной b. На гранях этого элемента действуют следующие нормальные напряжения (рисунок 12.6, в):

по грани – (12.9)

по грани – , (12.10)

где М₁ и М₂ – изгибающие моменты в сечениях и .

Кроме того, в указанных сечениях действуют неизвестные пока касательные напряжения, которые ввиду незначительной ширины сечения балки можно считать равномерно распределенными по ширине сечения. По грани действуют только касательные напряжения. В соответствии с законом парности касательных напряжений они равны таким же напряжениям, действующим по вертикальным граням параллелепипеда.

Рассмотрим условия равновесия вырезанного параллелепипеда.

Действие на него отброшенной части балки заменим внутренними силовыми факторами. По боковым граням будут действовать сжимающие нормальные силы N₁ и N₂, причем N₁> N₂, так как изгибающий момент М₁>М₂. Кроме того, по боковым граням будут действовать касательные силы, вызванные поперечными. Так как N₁> N₂, то параллелепипед будет стремиться сдвинуться влево. Этому передвижению препятствуют силы, равнодействующую которых обозначим через Т.

Нормальные силы, действующие по граням и , имеют соответственно равнодействующие

Спроектируем все силы на ось z:

или .

Используя формулы (12.1) и (12.2), имеем

Выражениепредставляет собой статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси.

Так как M₂ – M₁ = dM – приращение изгибающего момента на длине dz, то

Найдем касательные напряжения:

(12.11)

Эта зависимость впервые была установлена Д. И. Журавским, поэтому называется его именем. В ней обозначены: J_x – момент инерции сечения балки; b – ширина отсеченной части балки; Q – поперечная сила в сечении; S_х – статический момент отсеченной площади, , y – расстояние от нейтрального слоя сечения до центра тяжести отсеченной части.

Величины Q и J_x для данного сечения постоянны. Поэтому, касательные напряжения изменяются пропорционально отношению .

В самых верхних и нижних продольных слоях балки касательные напряжения τ = 0, так как S_x = 0. Для прямоугольных сечений, у которых b = const, наибольшие касательные напряжения будут в нейтральном слое, так как здесь S_x максимален. Эпюра распределения касательных напряжений по высоте балки приведена на рисунке 12.7.

Пример.

Найти величины максимальных нормальных и касательных напряжений в поперечном сечении прямоугольного бруса.

Решение.

1. Определяем величину максимальных касательных напряжений, используя формулу Журавского.

Таким образом,

Определим величину максимальных нормальных напряжений :

Сопоставим эти напряжения: