Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его применение к определению перемещений и углов поворота

Под действием внешней нагрузки ось балки искривляется. Перемещение центра тяжести сечения АА΄ по направлению, перпендикулярному оси балки, называется прогибом балки в данной точке сечения и обозначается у. Угол j, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения (рисунок 13.1). При анализе напряжений была получена основная формула теории изгиба:

(13.1)

Из нее ,

то есть радиус кривизны оси балки прямо пропорционален жесткости балки и обратно пропорционален внутреннему изгибающему моменту.

Рисунок 13.1

Из математики известна формула кривизны линии в точке с координатами (х, у):

где ; .

В большинстве практических задач перемещения точек оси стержня малы, поэтому – также малая величина. Принимаем , тогда

.

И окончательно (13.2)

Получено дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Для того, чтобы в правой части равенства (13.2) всегда был положительный знак, используем следующие правила

 
 

:

Рисунок 13.2

(13.3)
Таким образом, знаки моментов и у// совпадают, поэтому уравнение (13.2) принимает вид

 

 

Для получения уравнения упругой линии в форме, дающей непосредственную связь между прогибом у и абсциссой х, следует проинтегрировать два раза уравнение (13.3). После каждого интегрирования появляется постоянная, которая определяется из граничных условий (условий закрепления балки).

Определим перемещение у и угол поворота сечения стержня, соответствующего точке А (рисунок 13.1):

M = F(l – x) или Elx y//= F(l – x) = Fl – Fx.

Считаем, что жесткость стержня при изгибе EJx постоянная. Интегрируем дважды, получим:

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяют по известным граничным условиям. При х = 0 , у = 0.ОтсюдаС1 = 0; С2 = 0

Тогда угол поворота и прогиб удля сечения, соответствующего координате х, равны:

Найдем угол поворота и прогиб у на конце балки:

Использование непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой оси балки приводит к решению системы уравнений с большим числом неизвестных постоянных интегрирования.