Метод начального параметра

(универсальное уравнение изогнутой оси балки)

 

При выводе уравнения изогнутой оси стержня методом начального параметра применим следующие правила.

1. Начало координат поместим на левом конце балки, направляя ось х вправо, а ось у вверх.

2. При вычислении моментов будем рассматривать ту часть балки, которая содержит начало координат, то есть всегда будем определять момент в сечении, подходя к нему с левой стороны.

3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих скобки, будем вести без их раскрытия, например,

(13.4)

4. Если на балку действует распределенная нагрузка, не доходящая до ее конца, то нагрузку следует продолжить до конца, а чтобы не изменить условия работы балки, следует одновременно приложить нагрузку обратного знака (рисунок 13.3).

 

 

Рисунок 13.3

5. Если на балку действует сосредоточенный момент mна расстоянии а от левой опоры (рисунок 13.4), изгибающий момент в сечении балки 2 равен R_А^.x – m. Для дальнейших преобразований этот момент удобно записать следующим образом:

Рисунок 13.4

(13.5)

Пусть балка под действием различных по характеру положительных нагрузок, указанных на рисунке. 13.5, находится в равновесии. Схема приложения силовых факторов такова, что необходимо рассмотреть 5 участков балки.

Рисунок 13.5

1-й участок – 0А

На участке 0Анагрузки нет, следовательно, выражения, определяющие уравнение упругой линии, будут иметь вид

2-й участок – АВ.Применим пятое правило:

Интегрируем это выражение, применяя первое правило:

3-й участок – ВС.

;

4-й участок – СD.

5-й участок – DE.

Равенство постоянных (С₁ = С₂ = ... = С и D₁ = D₂ = ... = D) следует из неразрывности функции у и ее первой производной на границах смежных участков. Например, чтобы доказать равенство С₃ = С₄, подставляем х = с в соответствующее уравнение углов наклона касательной 3 и 4 участков. Получаем:

ОтсюдаС₃ = С₄. Таким образом, легко доказать равенство всех остальных постоянных.

Для определения постоянных C и D воспользуемся граничными условиями на левом конце балки. При

Уравнения углов наклона касательной при многократном повторении нагрузок действующих на балку, могут быть записаны в следующем виде:

 

а уравнение прогибов –

Следует обратить внимание на то, что если нагрузки противоположны показанным на рисунке 13.5, то они вносятся в уравнения со знаком “минус”.

Если левый конец балки защемлен, то значения и обращаются в нули. Если левый конец однопролетной балки опирается на опору, совпадающую с началом координат, то неизвестное значение определяется из условия равенства нулю прогиба над правой опорой. Если балка лежит на двух опорах и имеет две консоли, то определяются оба неизвестных – и из условия равенства нулю прогибов над обеими опорами

 

14 ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И УГЛОВ ПОВОРОТА БАЛКИ ПРИ ИЗГИБЕ