Интеграл Мора

Определение перемещений и углов поворота различных сечений балки, лежащей на двух опорах, методом начальных параметров, представляющий собой достаточно трудоемкий процесс. Он требует громоздких вычислений по определению постоянных, интегрирования и граничных условий задачи.

Рассмотрим теперь общий метод определения перемещений, пригодный для любой линейно деформируемой системы при любой нагрузке. Этот метод был предложен немецким ученым О. Мором.

Пусть требуется определить вертикальное перемещение у_cточки Сбалки, представленной на рисунке 14.1, а.

Возьмем такую же балку и в искомой точке С нагрузим ее единичной силой Р = 1. Затем сообщим этой второй балке дополнительно совершенно такие же прогибы, какие имеет первая балка, изгибаемая нагрузкой F. Дополнительная потенциальная энергия U, накопленная вследствие этого во второй балке, будет равна работе единичной силы Р = 1 на перемещении y_c:

Рисунок 14.1 U = 1 · y_с. (14.1)

Дополнительную потенциальную энергию второй балки можно определить другим способом (см. рисунок 11.3). Если вырезать из балки бесконечно малый элемент длиной dx, то его потенциальная энергия

где – угол поворота концевого сечения элемента балки относительно рассматриваемого длиной dx, ;

ρ – радиус нейтрального слоя.

В выведенную ранее формулу (12.6) подставим значение ρ.

Тогда или (14.2)

Потенциальная энергия всей балки, нагруженной единичной силой, будет

. (14.3)

Из сравнения выражений (14.1) и (14.3) получим

(14.4)

Если балка имеет постоянное поперечное сечение, то

(14.5)

Формулы (14.4) и (14.5) называются интегралами Мора. В эти формулы входят следующие величины:

М_из – изгибающий момент, полученный от действия на балку внешних нагрузок;

М₁ – изгибающий момент в сечении от действия единичной силы;

ЕJ_x – жесткость балки при изгибе;

х – координата сечения балки;

y_C – прогиб балки в рассматриваемом сечении.

14.2 Способ Верещагина

Помимо непосредственного вычисления интеграла Мора можно пользоваться графоаналитическим приемом: способом перемножения эпюр или правилом Верещагина. Для вывода формулы, предложенной Верещагиным, возьмем один участок балки длиной (l₂ - l₁).

Построим эпюру от внешних сил. Часть этой эпюры на длине балки l₂ – l₁ приведена на рисунке 14.3, а.

В сечении, где нужно найти прогиб балки, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающих моментов М₁. Часть этой эпюры на той же длине балки приведена на рис. 14.3, б. В общем случае описывается уравнением f(x), а эпюра от единичной нагрузки – уравнением прямой М₁ = ах + b. Подставляем эти значения в интеграл Мора: Рисунок 14.3

Выражение представляет собой статический момент площади.

Второй интеграл имеет смысл площади эпюры изгибающих моментов внешних сил.

Поскольку , то окончательно получим

, (14.6)

где – ордината эпюры моментов М₁ от единичной силы под центром тяжести эпюры М_из.

Для определения перемещений с учетом нескольких грузовых участков надо полученную формулу (14.6) применить для всех этих участков

(14.7)

Таким образом, чтобы использовать правило Верещагина, необходимо:

1. Построить эпюры изгибающих моментов от внешних сил.

2. В том сечении, где надо определить прогиб, приложить единичную силу (для нахождения угла поворота сечения приложить единичный момент).

3. Построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы (от единичного момента).

4. Вычислить площадь эпюры на каждом участке балки.

5. Умножить эту площадь на ординату единичной эпюры, находящуюся под центром тяжести эпюры моментов внешних сил.

6. Вычислить y_Cлибо j по формуле (14.7).

При этом необходимо учитывать тот факт, что перемножение эпюр с одинаковыми знаками дает “плюс”, с разными “минус”.

Положительные y_Cи j всегда направлены в сторону действия соответствующей им единичной силы или единичного момента.

Для упрощения процесса расчета деформаций сечений балки целесообразно воспользоваться готовой таблицей, где приведены формулы, по которым можно найти произведение y_ц.т. в зависимости от вида эпюр М_из иМ₁(см. таблицу 14.1).

 

Таблица 14.1 – Значения, используемые при применении правила Верещагина

Эпюры M, построенные от внешних нагрузок	Эпюры , построенные от единичных сил и моментов