Формула Эйлера для определения критической силы

При расчете стержней на продольный изгиб нужно определить критическую силу. Формула для ее определения была впервые выведена знаменитым математиком Леонардом Эйлером.

Рассмотрим сжатый стержень, изображенный на рисунке 15.2, в таком состоянии, когда сжимающая сила достигла критического значения Р_{кр .}

Для нахождения критической силы используем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

, (15.1)

где J_min – минимальный изгибающий момент в плоскости наименьшей жесткости сечения;

М_из– изгибающий момент относительно центра тяжести сечения в изогнутом состоянии, Рисунок 15.2

М_из = –P_кр y . (15.2)

Знак (–) берется потому, что стержень изгибается выпуклостью вверх, а прогиб y положителен. Тогда уравнение (15.2) принимает вид

(15.3)

Обозначим . Подставляя в (15.3), получим .

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение, как известно из курса математики, имеет вид

, (15.4)

гдеС и D – постоянные интегрирования, их определяют с использованием граничных условий.

Для изображенной на рисунке балки имеются два граничных условия:

1) при z = 0 y = 0; 2) при z = l y = 0.

Из первого условия получим С = 0. Следовательно, стержень изгибается по синусоиде

(15.5)

Из второго условия получим . Это соотношение справедливо в двух случаях:

а)D = 0. Но если С = 0 и D = 0, то из соотношения (15.4) получается, что y = 0, а это противоречит предположению об изогнутости стержня;

б) . Это условие выполняется, если аргумент синуса принимает следующий бесконечный ряд значений:, где n – любое целое число. Отсюда .

Так как то . (15.6)

Первый корень не дает решения задачи. При получаем наименьшее значение критической силы. Итак, выведена формула Эйлера:

. (15.7)

Чаще всего концы стержня закрепляют одним из четырех способов, показанных на рисунке 15.3. Именно второй из них – шарнирное закрепление обоих концов рассмотрен нами при выводе формулы Эйлера.

Рисунок 15.3

Для практических расчетов при определении критической силы используется обобщенная формула Эйлера, имеющая вид

(15.8)

где – приведенная длина стержня;

m .– коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способов закрепления концов стержня.