Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Эйлер при выводе своей формулы для определения критической силы предполагал, что материал стержня следует закону Гука. Этот закон, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности. Чтобы установить предел применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение, то есть напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при действии критической нагрузки,

(15.9)

где А – площадь поперечного сечения стержня.

Мы знаем, что наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня. Поэтому формулу (15.9) можно записать в виде

. (15.10)

Величина характеризует влияние на σ_кр размеров стержня и способа закрепления концов, она называется гибкостью стержня.

Таким образом, получаем

отсюда . (15.11)

Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо соблюдать условие: где предел пропорциональности материала.

Тогда гибкость стержня можнооценить с использованием следующей зависимости: (15.12)

Поэтому для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость больше 100. Для чугуна > 80.

Если, как это очень часто случается на практике, гибкость стержней будет меньше указанных значений, то формула Эйлера становится неприменимой, так как критические напряжения превзойдут предел пропорциональности и закон Гука потеряет силу. В этих случаях обычно пользуются эмпирической формулой Ясинского, полученной на основании многочисленных опытов

(15.13)

где a иb – коэффициенты, зависящие от материала. Их значения для различных материалов приводятся в справочниках.

Вместо двух формул Эйлера и Ясинского, каждая из которых пригодна для определенного диапазона значений гибкости, удобно пользоваться обобщенной формулой, применяющейся при расчетах строительных конструкций. Она устанавливает зависимость между критическим и допускаемым напряжениями для сжатых стержней :

,

где – коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения, значения которого приведены в справочной литературе.