Лекция 4

Работа. Энергия. Закон сохранения энергии в механике

Работа. Рассмотрим малое перемещение , в пределах которого силу , действующую на материальную точку, можно считать постоянной.

В механике вводится понятие элементарной работы силы на перемещение:

, где

– угол между векторами и ;

– элементарный путь;

– проекция вектора на вектор .

 

Работа силы на всём участке 1-2 определяется интегрированием

.

Данное выражение справедливо не только для материальной точки, но и вообще для любого тела или системы тел. В этом случае под или следует понимать перемещение точки приложения силы.

Работу геометрически можно найти как площадь фигуры, ограниченной кривой , ординатами 1 и 2 и осью . При этом площадь фигуры над осью берётся со знаком «+» (положительная работа), а площадь фигуры под осью – со знаком «–».

Элементарную работу можно также представить как

,

а в декартовых координатах

.

Сила в общем случае – функция нескольких переменных, а элементарная работа силы не является, вообще говоря, полным дифференциалом какой либо функции координат точки. Поэтому принято элементарную работу обозначать символом , а не .

 

 

Примеры вычисления работы:

1) работа упругой силы , где – радиус-вектор точки приложения силы относительно точки О.

 

– проекция вектора на вектор .

.

 

2) работа гравитационной силы

.

3) работа однородной силы тяжести , где – орт вертикальной оси Z, положительное направление которой выбрано вверх.

 

.

Если на тело в процессе движения действует несколько сил, результирующая которых , то работа результирующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении.

.

Единицей работы в СИ является джоуль (Дж).

Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени (т.е. скорость, с которой совершается работа).

.

Зная зависимость мощности от времени, можно найти работу

.

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт).

 

Энергией Е называется скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может лишь переходить из одной формы в другую (механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.).

Кинетической энергией К механической системы называется энергия механического движения этой системы.

Изменение кинетической энергии материальной точки происходит под действием приложенной к ней силы и равно работе, совершаемой этой силой:

 

.

Закон изменения кинетической энергии: приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы , действующие на все части системы

.

 

Значения скорости и кинетической энергии одной и той же материальной точки различны в двух системах отсчёта, движущихся друг относительно друга. Рассмотрим инерциальную систему отсчёта Ки систему К^* , движущуюся относительно К поступательно со скоростью .

Для каждой материальной точки .

Тогда

.

 

Для кинетической энергии системы

 

Здесь т – масса всей системы;

и К^* – значения импульса и кинетической энергии рассматриваемой системы в системе отсчёта К^*.

Если в качестве К^*-системы взять Ц-систему (систему центра масс), то и р^*= 0 т.к. любая система частиц как целое покоится в своей Ц-системе .

Получаем теорему Кёнига:

кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в её движении относительно Ц-системы и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.

Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела (центра инерции) и кинетической энергии вращения этого тела вокруг центра масс..

, где

и - момент инерции твёрдого тела и его угловая скорость вращения относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс.

Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью , то его кинетическая энергия

, где

– момент импульса тела относительно точки О , принятой за начало координат;

– момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через точку О и параллельной вектору .