Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивления среды, считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: .

(«–» указывает, что R против v). Пусть на точку при её движении действует восстанавливающая сила и сила сопротивления.

Тогда.

Дифференциальное уравнение будет

 

Рис. 3.11

 

Деля обе части на m, получим:

(38)

где обозначено

, (39)

Уравнение (38) представляет собой дифференциальное уравнение . Общее решение уравнения ( 38) имеет вид

(40)

или по аналогии с равенством (30)

(41)

Входящая сюда постоянная и являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

Колебания, проходящие по закону (38) называют затухающими, т.к. благодаря множителю величина с течением времени убывает, стремясь к нулю.

Промежуток времени , равный периоду т.е. величину

(42)

принято называть периодом затухающих колебаний.

 

Рис. 3.12

Формулу (42), если учесть равенство (35), можно представить в виде:

(42^/)

Из формул видно, что наличие сопротивления увеличивает период колебаний. Однако, когда сопротивление мало , то величиной по сравнению с единицей можно пренебречь и считать .