Уравнение бегущей волны

Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распростр. в среде от частицы к частице с некоторой скоростью u - возникает бегущая волна. Это волны ,которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии количественно характеризуется вектором плотности потока энергии (вектор Умова). Направление этого вектора совпадает с направлением распространения энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно волне. Пусть точки, расположенные в плоскости х = 0, колеблются по закону: x( 0, t ) = А cos wt. Пусть u - скорость распространения колебаний в данной среде. Для прохождения волной расстояния x, требуется время t = x / u , ее колебания будут отставать по времени от колебания источника на t. Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x, имеет вид:

x( x , t )= A cos w (t – x / u)

Функция x( x , t )явл. не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты. Уравнение плоской волны в общем виде:

x( x , t )= A cos [w (t – x / u)+j ₀]

A - амплитуда волны, w - циклическая частота,j ₀ – начальная фаза волны.w (t – x / u)+j ₀ – фаза плоской волны. Если определить волновое число:

K = , то уравнение плоской бегущей волны можно записать в виде:

x( x , t )= A cos (w t – kx +j ₀)или в экспоненциальной форме: x( x , t )= A e ^{i (w t – kx +j 0)}