Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Используя основной закон динамики, можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей , а массу точки , получаем

. (128)

Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 48):

.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

. (129)

Если спроецировать обе части уравнений (128) или (129) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

, , .

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

; , .

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имею вид

, , . (130)