Центр масс

При рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит из конечного числа материальных точек с массами , радиусы-векторы которых , проведенные из одной и той же точки , (рис. 13), то центром масс называется геометрическая точка , радиус-вектор которой определяется выражением

, (137)

где – масса системы. Формулы для декартовых координат центра масс:

, , . (137')

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы, как, например, в случае кольца. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами и с изменяющимися от частицы к частице радиусом-вектором . Суммы в пределе переходят в интегралы. Формулы (137) и (137') принимают форму:

, (138)

, , , (138')

где – масса тела.

Для однородных сплошных тел , , где – плотность тела, общая для всех элементарных частиц, – объем элементарной частицы, – объем тела.

Для тел типа тонкого листа, которые можно принять за однородные материальные поверхности, , , где – поверхностная плотность, – площадь поверхности элементарной частицы; – площадь поверхности.

Для тонкой проволоки, которую можно принять за отрезок линии, , , где – линейная плотность, – длина элемента линии; – длина отрезка линии.

В этих случаях определение центра масс тел сводится к вычислению центра масс объемов, площадей и длин линий соответственно.