Аксиомы статики

При формулировке аксиом предполагаем, что на твердое тело или материальную точку действуют силы, которые указаны в соответствующей аксиоме.

I. Аксиома о равновесии системы двух сил. Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела (рис. 7), необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны пол модулю и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложения, в противоположных направлениях.

II. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю. Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) систему сил, эквивалентную нулю. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил является эквивалентной первоначальной системе сил. Под действием заданной системы сил и новой, полученной после добавления (отбрасывания) равновесной системы сил, тело будет двигаться (или находиться в покое) совершенно одинаково при прочих равных условиях.

III. Аксиома параллелограмма сил. Две силы, действующие в одной точке твердого тела или на одну материальную точку, можно заменить одной равнодействующей силой, равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданных силах (рис. 8). Очевидно, справедливо и обратное. Одну силу, приняв за равнодействующую, можно разложить по правилу параллелограмма на две составляющие силы.

Замену двух сил одной равнодействующей силой по правилу параллелограмма называют векторным сложением этих сил. Векторное сложение сил и математически выражают так:

.

Модуль равнодействующей силы как векторную сумму сил вычисляют по формуле диагонали параллелограмма

.

IV. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия. Всякой силе действия есть равная, но противоположная сила противодействия. По отношению к двум материальным точкам эта аксиома утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой, проходящей через взаимодействующие точки.

V. Аксиома связей. Связью для твердого тела или материальной точки называют материальные объекты (тела и точки), которые ограничивают свободу перемещения рассматриваемого твердого тела или материальной точки. Аксиома связей утверждает, что всякую связь можно отбросить и заменить силой, реакцией связей (в простейшем случае) или системой сил (в общем случае).

Приведем примеры связей и их замены силами реакций связей. Если связью для твердого тела (рис. 9,а) является абсолютно гладкая поверхность другого тела, то сила реакции такой поверхности, если соприкосновение происходит в одной точке, направлена по нормали к общей касательной соприкасающихся поверхностей тел независимо от сил, приложенных к рассматриваемому телу (рис. 9,б). Сила реакции связи направлена в сторону, противоположную направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела.

 

а) б)

Рис. 9

 

Числовое значение силы реакции при равновесии определяется приложенными к телу силами, которые в отличие от сил реакций связей часто называют активными силами.

Неизвестную по модулю и направлению силу реакции создают цилиндрический (плоский) и шаровой шарниры. Пусть имеем балку АВ, находящуюся в равновесии под действием силы и закрепленную на одном конце с помощью цилиндрического шарнира А, а на другом – катковой опоры В (рис. 10, а). Цилиндрическим шарниром называют устройство, позволяющее балке поворачиваться в плоскости вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Устройство катковой опоры ясно из рисунка. На рис. 10,б показана та же балка после освобождения от связей. Сила реакции катковой опоры направлена по нормали к плоскости движения катков. Неизвестная по модулю и направлению реакция цилиндрического шарнира разложена на две составляющие и , предположительно направленные в положительном направлении осей координат.

 

а) б)

Рис. 10

 

В случае шарового шарнира силу реакции раскладывают на три составляющие, параллельные осям координат.

Гибкие связи (канаты, тросы, нити) дают силы реакции связей (силы натяжения), направленные по касательной к гибкой связи. На рис. 11,а,б сила натяжения нити заменяет действие нити на груз. На рис. 12,а,б показаны силы натяжения провода в сечениях А и В, действующих на часть провода АВ.

 

а) б)

Рис. 12

 

Жесткая заделка. Запрещает любое поступательное перемещение тела, в общем случае ее реакция состоит из произвольно направленной силы реакции заделки и момента заделки. При решении задач их раскладывают на составляющие по осям координат.

VI. Аксиома затвердевания. Если деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие его без изменения системы приложенных сил не нарушится от наложения на точки тела дополнительных связей, включая превращение деформируемого тела в абсолютно твердое.